学习指南

单位圆、弧度制、三角恒等式

IB 数学：分析与方法 HL· 15 分钟阅读

1. 1. 弧度制与单位圆定义★★☆☆☆⏱ 15 min

弧度制是角度制的替代方案，可简化所有微积分和三角计算。1弧度是指圆心处长度等于圆半径的弧所对的圆心角。

📘 定义

弧度制

r(radius),s(arclength),θ(angleinradians)r (radius), s (arc length), \theta (angle in radians)

对于任意圆，角度 \theta（弧度）由公式 \theta = \frac{s}{r} 给出

例:

完整一周360°等于2\pi弧度，半周180°等于\pi弧度

利用关系180° = \pi弧度可进行两种单位的互化。

📐 例题

将(a) 60°转化为弧度，(b) \frac{3\pi}{4}弧度转化为角度。

  1. 1

    步骤1：角度转弧度，乘以\frac{\pi}{180}：

  2. 2
    60∘×π180=π3 radians60^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ radians}
  3. 3

    步骤2：弧度转角度，乘以\frac{180}{\pi}：

  4. 4
    3π4×180π=135∘\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ

单位圆是圆心在原点(0,0)、半径为1的圆。对于从x轴正方向逆时针测量的任意角度 \theta，\theta 的终边与单位圆交点的坐标为 (\cos \theta, \sin \theta)。这将三角函数的定义域扩展到了所有角度，而不仅限于锐角。

2. 2. 求精确三角函数值★★★☆☆⏱ 20 min

常见角度（0、\frac{\pi}{6}、\frac{\pi}{4}、\frac{\pi}{3}、\frac{\pi}{2}及其倍数）的精确值可以直接从单位圆读出。要求第一象限以外角度的三角函数值，需要先求出参考角（与x轴的锐角），再根据象限调整符号。

📐 例题

求\sin(\frac{5\pi}{6})和\cos(\frac{5\pi}{6})的精确值。

  1. 1

    步骤1：确定象限：\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi，因此在第二象限。

  2. 2

    步骤2：计算参考角：\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}。

  3. 3

    步骤3：应用ASTC法则：第二象限正弦为正，余弦为负。我们已知\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}和\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}。

  4. 4
    sin⁡(5π6)=12,cos⁡(5π6)=−32\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
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测试你对象限符号的理解：

  1. \tan(\frac{7\pi}{6})的符号是什么？

    • 正

    • 负

    • 零

    • 无定义

    显示答案
    正 —

    \frac{7\pi}{6}位于第三象限，根据ASTC法则，第三象限正切为正。

3. 3. 核心三角恒等式★★★☆☆⏱ 25 min

三角恒等式用于化简表达式、解方程，以及将三角函数改写为更易用的形式。本主题最重要的两组恒等式是勾股恒等式和二倍角恒等式。

📘 定义

勾股恒等式

直接从单位圆方程 推导而来，核心恒等式为：

例:

用于从 \cos \theta 求 \sin \theta（反之亦然）

4.

5.

6.

7.

8. 常见陷阱

错误做法:

忘记根据象限调整三角函数值的符号

原因:

单位圆坐标在每个象限的符号不同，仅保留参考角的数值会得到错误结果

正确做法:

始终检查象限，应用ASTC法则得到正确符号

错误做法:

颠倒角度-弧度的转换系数

原因:

将角度乘以 \frac{180}{\pi} 而非 \frac{\pi}{180}，得到错误结果

正确做法:

记住：角度 → 弧度：乘以 \frac{\pi}{180}，弧度 → 角度：乘以 \frac{180}{\pi}

错误做法:

将 \sin^2 \theta 写为 \sin \theta^2

原因:

这会产生歧义：\sin(\theta^2) ≠ (\sin \theta)^2 = \sin^2 \theta

正确做法:

对于平方的三角函数值，始终将平方写在函数名称后

错误做法:

为 \cos 2\theta 选择了错误的二倍角恒等式

原因:

这需要额外计算未知的三角函数值，增加出错风险

正确做法:

选择与已知值匹配的形式：如果已知 \sin \theta，使用 1 - 2\sin^2 \theta；如果已知 \cos \theta，使用 2\cos^2 \theta - 1

9. 速查表

概念

公式/法则

角度-弧度转换

radians

单位圆上的点

核心勾股恒等式

正切定义

ASTC象限法则

Q1: All +, Q2: Sin +, Q3: Tan +, Q4: Cos +

正弦二倍角

余弦二倍角

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2021 · 1

    求精确三角函数值

  • 2022 · 2

    利用恒等式解方程

  • 2023 · 1

    角度单位互化

深入阅读

下一步

本子主题是IB AI HL中所有后续三角函数、图像和方程学习的基础。你会使用这些恒等式化简复杂表达式、求解各类三角方程，并在应用场景中对波、季节周期、振荡等周期现象建模。掌握单位圆的精确三角函数值能帮你在非计算器试卷1中节省大量时间，因此值得在课程早期就记住这些值。