# 单位圆、弧度制、三角恒等式

> IB 数学：分析与方法 HL · 几何与三角
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-unit-circle-radian-measure-trigonometric/

本子主题介绍了弧度角度制、用于计算任意角度三角函数值的单位圆，以及用于化简表达式和解方程的核心三角恒等式，是IB AI HL中所有后续三角学习的基础。

**先修:** [基础直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-right-triangle-trigonometry/); 角度的角度制

## 学习目标

- 角度的角度制与弧度制互化
- 利用单位圆求任意角度的精确三角函数值
- 应用核心勾股三角恒等式和二倍角恒等式
- 利用恒等式关系求解基础三角问题

## 1. 弧度制与单位圆定义

弧度制是角度制的替代方案，可简化所有微积分和三角计算。1弧度是指圆心处长度等于圆半径的弧所对的圆心角。

**弧度制** — 对于任意圆，角度 \theta（弧度）由公式 \theta = \frac{s}{r} 给出

*记法:* r (radius), s (arc length), \theta (angle in radians)

*例:* 完整一周360°等于2\pi弧度，半周180°等于\pi弧度

利用关系180° = \pi弧度可进行两种单位的互化。

**例题:** 将(a) 60°转化为弧度，(b) \frac{3\pi}{4}弧度转化为角度。

1. 步骤1：角度转弧度，乘以\frac{\pi}{180}：
2. $$60^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ radians}$$
3. 步骤2：弧度转角度，乘以\frac{180}{\pi}：
4. $$\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ$$

单位圆是圆心在原点(0,0)、半径为1的圆。对于从x轴正方向逆时针测量的任意角度 \theta，\theta 的终边与单位圆交点的坐标为 (\cos \theta, \sin \theta)。这将三角函数的定义域扩展到了所有角度，而不仅限于锐角。

> **info**
>
> 正切定义为 \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}，等于 \theta 终边的斜率。

## 2. 求精确三角函数值

常见角度（0、\frac{\pi}{6}、\frac{\pi}{4}、\frac{\pi}{3}、\frac{\pi}{2}及其倍数）的精确值可以直接从单位圆读出。要求第一象限以外角度的三角函数值，需要先求出参考角（与x轴的锐角），再根据象限调整符号。

> **ASTC符号法则**
>
> 全、弦、切、余：第一象限所有函数为正，第二象限仅正弦为正，第三象限仅正切为正，第四象限仅余弦为正（记法：All Students Take Calculus）

**例题:** 求\sin(\frac{5\pi}{6})和\cos(\frac{5\pi}{6})的精确值。

1. 步骤1：确定象限：\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi，因此在第二象限。
2. 步骤2：计算参考角：\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}。
3. 步骤3：应用ASTC法则：第二象限正弦为正，余弦为负。我们已知\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}和\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}。
4. $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

**概念自测**

测试你对象限符号的理解：

1. \tan(\frac{7\pi}{6})的符号是什么？

   - 正
   - 负
   - 零
   - 无定义

   *解析:* \frac{7\pi}{6}位于第三象限，根据ASTC法则，第三象限正切为正。

## 3. 核心三角恒等式

三角恒等式用于化简表达式、解方程，以及将三角函数改写为更易用的形式。本主题最重要的两组恒等式是勾股恒等式和二倍角恒等式。

**勾股恒等式** — 直接从单位圆方程 $x^2 + y^2 = 1$ 推导而来，核心恒等式为：

*例:* 用于从 \cos \theta 求 \sin \theta（反之亦然）

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记根据象限调整三角函数值的符号
  - 原因: 单位圆坐标在每个象限的符号不同，仅保留参考角的数值会得到错误结果
  - 正确做法: 始终检查象限，应用ASTC法则得到正确符号
- **错误做法:** 颠倒角度-弧度的转换系数
  - 原因: 将角度乘以 \frac{180}{\pi} 而非 \frac{\pi}{180}，得到错误结果
  - 正确做法: 记住：角度 → 弧度：乘以 \frac{\pi}{180}，弧度 → 角度：乘以 \frac{180}{\pi}
- **错误做法:** 将 \sin^2 \theta 写为 \sin \theta^2
  - 原因: 这会产生歧义：\sin(\theta^2) ≠ (\sin \theta)^2 = \sin^2 \theta
  - 正确做法: 对于平方的三角函数值，始终将平方写在函数名称后
- **错误做法:** 为 \cos 2\theta 选择了错误的二倍角恒等式
  - 原因: 这需要额外计算未知的三角函数值，增加出错风险
  - 正确做法: 选择与已知值匹配的形式：如果已知 \sin \theta，使用 1 - 2\sin^2 \theta；如果已知 \cos \theta，使用 2\cos^2 \theta - 1

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 |
| --- | --- |
| 角度-弧度转换 | $180^\circ = \pi$ radians |
| 单位圆上的点 | $(\cos \theta, \sin \theta)$ |
| 核心勾股恒等式 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 正切定义 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ |
| ASTC象限法则 | Q1: All +, Q2: Sin +, Q3: Tan +, Q4: Cos + |
| 正弦二倍角 | $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ |
| 余弦二倍角 | $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta -1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |

## 下一步

本子主题是IB AI HL中所有后续三角函数、图像和方程学习的基础。你会使用这些恒等式化简复杂表达式、求解各类三角方程，并在应用场景中对波、季节周期、振荡等周期现象建模。掌握单位圆的精确三角函数值能帮你在非计算器试卷1中节省大量时间，因此值得在课程早期就记住这些值。

- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)
- [三角方程求解](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-solving-trigonometric-equations/)
- [向量：基础、运算、点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vectors-basics-operations-dot-product/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-unit-circle-radian-measure-trigonometric/