# 几何与三角学

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-overview/
> 占比: 占考试总分的15-20%

本单元涵盖IB AI HL两份试卷都会考察的核心几何与三角学概念，应用范围从周期性运动建模到空间资源分配不等。

**先修:** [基础代数与函数（第二单元）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-overview/)

## 学习目标

- 运用坐标、三角和向量方法求解二维和三维几何问题
- 使用经过变换的三角函数对现实世界的周期性现象建模
- 构建并解释沃罗诺伊图，求解空间优化问题
- 利用向量方程求解三维空间中直线的交点

## 单元概览

本单元遵循逻辑学习路径，从基础二维几何延伸到高级三维空间推理与应用几何建模。我们从坐标几何和三角形三角学开始，进而学习三角函数与方程求解，然后介绍向量，最后学习应用主题沃罗诺伊图。

本单元的知识点频繁出现在选择题和拓展响应题中，常出现在将几何与导航、资源管理、周期趋势建模等真实场景结合的丰富情境题中。

本单元所有子主题如下：
- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/) — 计算二维和三维空间中点之间的距离、中点和斜率。
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-right-triangle-trigonometry/) — 使用SOHCAHTOA求直角三角形中未知的边和角。
- [非直角三角形：正弦定理、余弦定理与面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-non-right-triangles-law-of/) — 求解任意普通三角形中未知的边、角和面积。
- [单位圆、弧度制、三角恒等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-unit-circle-radian-measure-trigonometric/) — 在弧度和角度之间转换，并使用核心勾股恒等式。
- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/) — 绘制并解释用于建模的经过变换的正弦、余弦和正切图像。
- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-solving-trigonometric-equations/) — 在指定定义域内求解一次和二次三角方程。
- [向量：基础、运算、点积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-vectors-basics-operations-dot-product/) — 学习向量符号、运算，并使用点积计算向量之间的夹角。
- [直线的向量方程、交点](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-equation-of-a-line/) — 写出直线的向量方程，求出直线的交点。
- [向量在运动学中的应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-kinematics/) — 用随时间变化的位置向量描述直线运动，并计算速率和交点。
- [沃罗诺伊图：基础构建](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-voronoi-diagrams-basic-construction/) — 使用垂直平分线法构建沃罗诺伊图。
- [沃罗诺伊图：应用问题](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u3-voronoi-diagrams-application-problems/) — 求解最近邻和最大空圆优化问题。

## 常见错误

- **错误做法:** 求解三角方程时只得到第一个解就停止
  - 原因: 三角函数具有周期性，因此方程在给定定义域内几乎总是有多个解。
  - 正确做法: 利用周期性找出所有落在指定区间内的有效解。
- **错误做法:** 不对交点是否在所有给定直线上验证就直接认可结果
  - 原因: 求解方程组时，异面直线或平行线会产生额外增根。
  - 正确做法: 始终将计算得到的交点代回所有原方程，验证其有效性。
- **错误做法:** 计算沃罗诺伊图最大空圆问题时，最大距离计算错误
  - 原因: 学生常常忘记最大空圆的圆心不仅可以在沃罗诺伊顶点，还可以落在图的边界上。
  - 正确做法: 同时检查沃罗诺伊顶点和边界边，确定最大空圆的圆心位置。

## 速查表

| 概念 / 公式 | 说明 |
| --- | --- |
| 三维点之间的距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ | 计算三维空间中任意两点之间的直线距离 |
| 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ | 求任意非直角三角形中未知的边或角 |
| 任意三角形的面积：$Area = \frac{1}{2}ab \sin C$ | 已知两边及其夹角时计算三角形面积 |
| 勾股恒等式：$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 化简三角表达式并求解三角方程 |
| 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \|a\|\|b\| \cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 计算两个向量之间的夹角，检查向量是否垂直 |
| 直线的向量方程：$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}$ | 过点$\vec{a}$、方向向量为$\vec{d}$的直线的参数描述 |
| 沃罗诺伊图核心性质 | 单元格内的任意一点都比图中其他生成点更靠近该单元格的生成点 |

## 下一步

从第一个子主题二维与三维坐标几何开始学习本单元，打好基础。请按顺序学习每个子主题，因为后续知识点建立在先前内容之上。完成本单元所有子主题后，你可以进入下一单元统计学的第一个子主题学习。

- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/)
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-right-triangle-trigonometry/)
- [非直角三角形：正弦定理、余弦定理、面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-non-right-triangles-law-of/)

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