非直角三角形：正弦定理、余弦定理、面积

IB 数学应用与解释 HL· 5 分钟阅读

1. 正弦定理★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

正弦定理

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

对于任意三角形，边 $a, b, c$ 分别对应对角 $A, B, C$ ，每条边与其对角正弦值的比值为常数。

例:

适用于已知两角一边，或两边及非夹角（SSA）的情况。

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中， $A = 4 0^{\circ}$ ， $B = 6 0^{\circ}$ ， $a = 8$ cm。求边 $b$ 的长度。

1
写出已知量和未知量对应的正弦定理比例式：
2
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
3
将已知值代入方程：
4
$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$
5
整理方程，分离出 $b$ ：
6
$b = \frac{8 \times \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$
7
用计算器计算：
8
$b \approx 10.8 \text{ cm}$

2. 余弦定理★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \quad \text{or} \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

建立三角形三边与其中一个角的关系，它是仅适用于直角三角形的勾股定理的一般形式。

例:

适用于已知三边，或两边及其夹角的情况。

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中，边 $a = 5$ cm， $b = 7$ cm，夹角 $C = 4 5^{\circ}$ 。求边 $c$ 的长度。

1
选择求未知边的公式形式：
2
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
3
代入已知值：
4
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 45^\circ$
5
计算每一项：
6
$c^2 = 25 + 49 - 70(0.7071) \approx 24.50$
7
取正平方根（边长不能为负）：
8
$c \approx \sqrt{24.50} \approx 4.95 \text{ cm}$

3. 非直角三角形的面积★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

任意三角形的面积

\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C

任意三角形的面积等于两边乘积乘以两边夹角正弦值的一半。

例:

当已知两边及其夹角时，适用于所有三角形，无论是直角还是非直角。

📐 例题

已知三角形 $A B C$ 中 $a = 10$ m， $b = 14$ m，夹角 $C = 3 0^{\circ}$ ，求其面积。

1
代入面积公式：
2
$\text{Area} = \frac{1}{2}(10)(14)\sin 30^\circ$
3
利用 $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ 化简：
4
$\text{Area} = 70 \times 0.5 = 35 \text{ m}^2$

如果已知三边，先用余弦定理求出任意一个夹角，再套用该面积公式。如果已知两角一边，先求出第三个角，再用正弦定理求出第二条边，最后计算面积。

4. 选择正确定理与歧义情况★★★★☆⏱ 20 min

✓ 计算器

了解该用哪个定理能节省考试时间，避免不必要的计算，参考下表：

已知条件	推荐定理
两角 + 任意一边	正弦定理
两边 + 非夹角 (SSA)	正弦定理（需检查歧义情况）
两边 + 夹角 (SAS)	余弦定理 + 面积公式
三边 (SSS)	余弦定理

对于SSA（两边非夹角）的情况，可能存在0个、1个或2个有效三角形，这就是歧义情况，是考试的常见考点。

📐 例题

已知 $a = 7$ ， $b = 9$ ， $A = 2 5^{\circ}$ ，存在多少个有效三角形？

1
用正弦定理求解 $sin B$ ：
2
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{9 \sin 25^\circ}{7} \approx 0.543$
3
在 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之间有两个角的正弦值等于该结果：
4
$B_1 \approx 32.9^\circ, \quad B_2 = 180^\circ - 32.9^\circ = 147.1^\circ$
5
检查 $B_{2}$ 能否构成有效三角形：
6
$147.1^\circ + 25^\circ = 172.1^\circ < 180^\circ$
7
结论：两个角都有效，因此存在2个不同的三角形。

5. 常见陷阱

错误做法:

两边及夹角（SAS）使用正弦定理

原因:

正弦定理要求已知角对应一条已知边，SAS不满足这个条件

正确做法:

所有SAS问题都使用余弦定理

错误做法:

SSA歧义情况中忘记检查第二个角

原因:

IB考试明确考察对两个有效三角形的识别，遗漏第二个解会失分

正确做法:

始终计算补角，并检查它能否构成有效三角形

错误做法:

三角形问题中计算器使用弧度模式

原因:

除非另有说明，IB所有三角形问题都使用角度，弧度模式会得到完全错误的结果

正确做法:

开始解三角问题前，确认计算器处于角度模式

错误做法:

在 $\frac{1}{2} ab sin C$ 面积公式中使用非夹角

原因:

该公式仅在角为你使用的两条边的夹角时才成立

正确做法:

确认所用角是两条边的夹角，或者先用正弦/余弦定理求出夹角

错误做法:

用余弦定理求边长时保留负平方根

原因:

边长始终为正，保留负根是错误的

正确做法:

计算边长时仅取正平方根

6. 速查表

定理	公式	适用情况
正弦定理	$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$	2角+1边，SSA
余弦定理（求边）	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$	SAS，求第三边
余弦定理（求角）	$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$	SSS，求角
三角形面积	$\frac{1}{2} ab sin C$	SAS，求面积

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
用余弦定理求未知边
2024 · Paper 2
计算非直角三角形的面积
2023 · Paper 1
用正弦定理求解SSA歧义情况

深入阅读

Formula sheetIB AI HL 三角学公式参考官方大纲公式页

下一步

掌握非直角三角形三角学是IB AI HL诸多高阶知识点的基础，包括带方位角的二维导航，以及涉及距离和角度的真实场景建模。你在这里学到的定理可以直接推广到三维图形中的三角形问题，你可以把复杂的三维问题拆解为多个二维非直角三角形，求解未知高度或距离。这些方法也是复合图形面积和三角建模的基础，这两类问题在试卷1和试卷2中都经常出现。