# 非直角三角形：正弦定理、余弦定理、面积

> IB 数学应用与解释 HL · 第3单元：几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-non-right-triangles-law-of/

本模块讲解求解任意非直角三角形所有未知边、角和面积的方法，包括正弦定理、余弦定理，以及基于正弦的面积公式。你将学习如何针对常见考题选择适用的定理。

**先修:** [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-right-triangle-trigonometry/); [钝角的正弦与余弦](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-trigonometric-functions/)

## 学习目标

- 运用正弦定理求非直角三角形中未知的边和角
- 运用余弦定理求非直角三角形中未知的边和角
- 使用$\frac{1}{2}ab\sin C$公式计算任意非直角三角形的面积
- 识别并求解非直角三角形的SSA歧义情况

## 正弦定理

**正弦定理** — 对于任意三角形，边$a, b, c$分别对应对角$A, B, C$，每条边与其对角正弦值的比值为常数。

*记法:* \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

*例:* 适用于已知两角一边，或两边及非夹角（SSA）的情况。

**例题:** 在三角形$ABC$中，$A = 40^\circ$，$B = 60^\circ$，$a = 8$ cm。求边$b$的长度。

1. 写出已知量和未知量对应的正弦定理比例式：
2. $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
3. 将已知值代入方程：
4. $$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$$
5. 整理方程，分离出$b$：
6. $$b = \frac{8 \times \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$
7. 用计算器计算：
8. $$b \approx 10.8 \text{ cm}$$

> **tip**
>
> 除非题目另有说明，否则在IB考试的所有三角形问题中，都要确认计算器设置为角度模式。

*计算器:* allowed

## 余弦定理

**余弦定理** — 建立三角形三边与其中一个角的关系，它是仅适用于直角三角形的勾股定理的一般形式。

*记法:* c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \quad \text{or} \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

*例:* 适用于已知三边，或两边及其夹角的情况。

**例题:** 在三角形$ABC$中，边$a = 5$ cm，$b = 7$ cm，夹角$C = 45^\circ$。求边$c$的长度。

1. 选择求未知边的公式形式：
2. $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$
3. 代入已知值：
4. $$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 45^\circ$$
5. 计算每一项：
6. $$c^2 = 25 + 49 - 70(0.7071) \approx 24.50$$
7. 取正平方根（边长不能为负）：
8. $$c \approx \sqrt{24.50} \approx 4.95 \text{ cm}$$

> **note**
>
> 已知三边求未知角时，使用整理后的$\cos C = ...$形式简化计算。

*计算器:* allowed

## 非直角三角形的面积

**任意三角形的面积** — 任意三角形的面积等于两边乘积乘以两边夹角正弦值的一半。

*记法:* \text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C

*例:* 当已知两边及其夹角时，适用于所有三角形，无论是直角还是非直角。

**例题:** 已知三角形$ABC$中$a = 10$ m，$b = 14$ m，夹角$C = 30^\circ$，求其面积。

1. 代入面积公式：
2. $$\text{Area} = \frac{1}{2}(10)(14)\sin 30^\circ$$
3. 利用$\sin 30^\circ = 0.5$化简：
4. $$\text{Area} = 70 \times 0.5 = 35 \text{ m}^2$$

如果已知三边，先用余弦定理求出任意一个夹角，再套用该面积公式。如果已知两角一边，先求出第三个角，再用正弦定理求出第二条边，最后计算面积。

*计算器:* allowed

## 选择正确定理与歧义情况

了解该用哪个定理能节省考试时间，避免不必要的计算，参考下表：

| 已知条件 | 推荐定理 |
| --- | --- |
| 两角 + 任意一边 | 正弦定理 |
| 两边 + 非夹角 (SSA) | 正弦定理（需检查歧义情况） |
| 两边 + 夹角 (SAS) | 余弦定理 + 面积公式 |
| 三边 (SSS) | 余弦定理 |

对于SSA（两边非夹角）的情况，可能存在0个、1个或2个有效三角形，这就是歧义情况，是考试的常见考点。

**例题:** 已知$a = 7$，$b = 9$，$A = 25^\circ$，存在多少个有效三角形？

1. 用正弦定理求解$\sin B$：
2. $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{9 \sin 25^\circ}{7} \approx 0.543$$
3. 在$0^\circ$到$180^\circ$之间有两个角的正弦值等于该结果：
4. $$B_1 \approx 32.9^\circ, \quad B_2 = 180^\circ - 32.9^\circ = 147.1^\circ$$
5. 检查$B_2$能否构成有效三角形：
6. $$147.1^\circ + 25^\circ = 172.1^\circ < 180^\circ$$
7. 结论：两个角都有效，因此存在2个不同的三角形。

> **tip**
>
> 如果第二个角与已知角的和小于180°，就存在两个三角形。遇到SSA问题一定要做这个检查！

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 两边及夹角（SAS）使用正弦定理
  - 原因: 正弦定理要求已知角对应一条已知边，SAS不满足这个条件
  - 正确做法: 所有SAS问题都使用余弦定理
- **错误做法:** SSA歧义情况中忘记检查第二个角
  - 原因: IB考试明确考察对两个有效三角形的识别，遗漏第二个解会失分
  - 正确做法: 始终计算补角，并检查它能否构成有效三角形
- **错误做法:** 三角形问题中计算器使用弧度模式
  - 原因: 除非另有说明，IB所有三角形问题都使用角度，弧度模式会得到完全错误的结果
  - 正确做法: 开始解三角问题前，确认计算器处于角度模式
- **错误做法:** 在$\frac{1}{2}ab\sin C$面积公式中使用非夹角
  - 原因: 该公式仅在角为你使用的两条边的夹角时才成立
  - 正确做法: 确认所用角是两条边的夹角，或者先用正弦/余弦定理求出夹角
- **错误做法:** 用余弦定理求边长时保留负平方根
  - 原因: 边长始终为正，保留负根是错误的
  - 正确做法: 计算边长时仅取正平方根

## 速查表

| 定理 | 公式 | 适用情况 |
| --- | --- | --- |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ | 2角+1边，SSA |
| 余弦定理（求边） | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ | SAS，求第三边 |
| 余弦定理（求角） | $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ | SSS，求角 |
| 三角形面积 | $\frac{1}{2}ab\sin C$ | SAS，求面积 |

## 下一步

掌握非直角三角形三角学是IB AI HL诸多高阶知识点的基础，包括带方位角的二维导航，以及涉及距离和角度的真实场景建模。你在这里学到的定理可以直接推广到三维图形中的三角形问题，你可以把复杂的三维问题拆解为多个二维非直角三角形，求解未知高度或距离。这些方法也是复合图形面积和三角建模的基础，这两类问题在试卷1和试卷2中都经常出现。

- [单位圆、弧度制、三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-unit-circle-radian-measure-trigonometric/)
- [三角函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/)
- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-solving-trigonometric-equations/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-non-right-triangles-law-of/