三角函数图像

IB 数学 AI HL· 35 分钟阅读

1. 基础三角函数图像的关键性质★★☆☆☆⏱ 10 min

正弦、余弦和正切都是周期函数，即它们的形状会按固定间隔重复。正弦和余弦是连续有界的波形，而正切存在垂直渐近线，值域无界。

📘 定义

周期函数

若对于函数 $f (x)$ 定义域内的所有 $x$ ，都存在常数 $p > 0$ （即周期）满足 $f (x + p) = f (x)$ ，则该函数是周期函数。

例:

$y = sin x$ 是周期函数，基准周期为 $2 π$ 。

📐 例题

写出 $y = sin x$ 、 $y = cos x$ 和 $y = tan x$ 的定义域、值域和基准周期。

1
对于 $y = sin x$ ：正弦对所有实数输入角度都有定义，输出始终落在-1到1之间。
2
定义域： $x \in R$ ，值域： $[- 1, 1]$ ，周期： $2 π$
3
对于 $y = cos x$ ：余弦与正弦有相同的定义域、值域和基准周期。
4
定义域： $x \in R$ ，值域： $[- 1, 1]$ ，周期： $2 π$
5
对于 $y = tan x$ ：正切等于 $\frac{s i n x}{c o s x}$ ，因此当 $cos x = 0$ 时无定义，输出可以是任意实数，基准周期是正弦/余弦的一半。
6
定义域： $x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ ，值域： $R$ ，周期： $π$

2. 正弦型图像的变换★★★☆☆⏱ 15 min

任意变换后的正弦或余弦函数都可以写成标准形式 $y = A sin (B (x - C)) + D$ 或 $y = A cos (B (x - C)) + D$ ，其中每个常数对应基准图像的一种变换。

📘 定义

正弦型变换参数

y = A\sin(B(x-C)) + D

$∣ A ∣$ = 振幅， $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ = 周期， $C$ = 相位偏移（水平偏移）， $D$ = 垂直偏移（中线）。

📐 例题

求 $y = 3 sin (2 x - π) + 1$ 的振幅、周期、中线和相位偏移。

1
步骤1：将函数改写为标准因式分解形式：
2
$y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) + 1$
3
步骤2：从标准形式中提取各个参数：
4
- 振幅 = $∣ A ∣ = ∣3∣ = 3$
- 周期 = $\frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{2} = π$
- 中线 = $y = D = 1$
- 相位偏移 = $\frac{π}{2}$ 单位向右
5
步骤3：验证：最大值 = $1 + 3 = 4$ ，最小值 = $1 - 3 = - 2$ ，与计算出的参数一致。

✓ 快速检测

测试你对周期计算的理解：

What is the period of $y = cos (4 x)$ ?
- $4 π$
- $\frac{π}{2}$
- $2 π$
- $\frac{π}{4}$
显示答案
1 —
正确！正弦型函数的周期总是 $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ ，因此 $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ 。

3. 绘制变换后的正弦型图像★★★☆☆⏱ 15 min

要绘制准确的正弦型图像，在绘制光滑曲线前，请先标记出关键特征：中线、最大/最小值，以及相位偏移对应的起始位置。

📐 例题

在 $0 \leq x \leq 2 π$ 范围内绘制 $y = 2 cos (x + \frac{π}{2}) - 1$ 的图像。

1
步骤1：改写为标准形式并提取参数：
2
$y = 2\cos\left(1\left(x - (-\frac{\pi}{2})\right)\right) - 1$
3
振幅 = 2，周期 = $2 π$ ，相位偏移 = $\frac{π}{2}$ 向左，中线 = $y = - 1$ 。最大值 = $1$ ，最小值 = $- 3$ 。
4
步骤2：在区间 $[0, 2 π]$ 中绘制关键点：
5
关键点为： $(0, - 1)$ ， $(\frac{π}{2}, - 3)$ （最小值）， $(π, - 1)$ ， $(\frac{3 π}{2}, 1)$ （最大值）， $(2 π, - 1)$ 。
6
步骤3：连接这些点绘制一条光滑波浪线，在区间内完成一个完整周期。

4. 正切图像的变换★★★★☆HL 专属⏱ 10 min

正切图像遵循与正弦和余弦相同的变换规则，但它的基准周期是 $π$ ，因此周期公式不同。正切在每个周期的端点也存在垂直渐近线，会随图像一起偏移。

📐 例题

求 $0 \leq x \leq 2 π$ 范围内 $y = tan (2 x)$ 所有渐近线的方程。

1
步骤1：记住基准 $y = tan (θ)$ 在 $θ = \frac{π}{2} + k π$ （所有整数 $k$ ）处存在渐近线。
2
步骤2：代入 $θ = 2 x$ 并求解 $x$ ：
3
$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
4
步骤3：找出区间 $[0, 2 π]$ 内所有 $x$ ：
5
渐近线为 $x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

求相位偏移时忘记将 $B$ 从自变量中提出，直接将未因式分解的常数项当作 $C$ 。

原因:

只有在因式分解后的标准形式 $A sin (B (x - C)) + D$ 中，相位偏移才能被正确定义。未因式分解的形式会得到错误的偏移值。

正确做法:

读取相位偏移前，始终将 $A sin (B x - C) + D$ 改写为 $A sin (B (x - \frac{C}{B})) + D$ 。

错误做法:

将正切函数的周期计算为 $\frac{2 π}{B}$ ，而不是 $\frac{π}{B}$ 。

原因:

Base tangent has a period of $π$ , not $2 π$ like sine and cosine, so the period formula is different.

正确做法:

所有变换后的正切函数，周期始终等于 $\frac{π}{∣ B ∣}$ 。

错误做法:

混淆相位偏移的方向，认为 $y = sin (x + C)$ 向右偏移 $C$ 个单位。

原因:

标准形式是 $sin (x - C)$ ，因此函数内部加上一个正常数对应负偏移。

正确做法:

$y = sin (x + C) = sin (x - (- C))$ ，因此它向左偏移 $C$ 个单位。

错误做法:

当 $A$ 为负数时，认为振幅是负数。

原因:

振幅是到中线的距离，因此始终非负。负 $A$ 只是翻转图像，不会改变振幅。

正确做法:

无论 $A$ 的符号如何，振幅始终是 $∣ A ∣$ 。

6. 速查表

函数类型	标准形式	振幅	周期	基准渐近线
正弦/余弦	$y = A sin (B (x - C)) + D$	$∣ A ∣$	$\frac{2 π}{∣ B ∣}$	None
正切	$y = A tan (B (x - C)) + D$	N/A	$\frac{π}{∣ B ∣}$	$x = \frac{π}{2 B} + \frac{k π}{B} + C$
偏移后的正弦型函数	As above	$∣ A ∣$	$\frac{2 π}{∣ B ∣}$	None
翻转后的正弦型函数	As above	$∣ A ∣$	$\frac{2 π}{∣ B ∣}$	None

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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IB SyllabusIB AI HL 大纲主题 3

下一步

三角函数图像是对潮汐、季节温度、声波等真实世界周期现象建模的基础，这类问题是IB AI HL中常见的拓展回答题。掌握图像性质也是准确求解三角方程、解释数据拟合三角模型参数的必要基础。接下来，你将在此知识基础上学习求解方程，并将这些图像应用到实际问题中。