# 三角函数图像

> IB 数学 AI HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-graphs-of-trigonometric-functions/

本子主题涵盖正弦、余弦和正切函数图像的核心性质与变换，是IB AI HL考试中对真实世界周期现象建模和解决常见考题所必需的内容。

**先修:** [基础三角比和单位圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-trigonometric-ratios-and-identities/); [垂直与水平函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-function-transformations/)

## 学习目标

- 识别变换后三角函数的振幅、周期、相位偏移和垂直偏移
- 绘制经过变换的正弦、余弦和正切函数图像
- 识别中线、极值点和渐近线等关键特征
- 在考题中应用图像性质对周期现象建模

## 基础三角函数图像的关键性质

正弦、余弦和正切都是周期函数，即它们的形状会按固定间隔重复。正弦和余弦是连续有界的波形，而正切存在垂直渐近线，值域无界。

**周期函数** — 若对于函数$f(x)$定义域内的所有$x$，都存在常数$p>0$（即周期）满足$f(x+p) = f(x)$，则该函数是周期函数。

*例:* $y = \sin x$ 是周期函数，基准周期为 $2\pi$。

**例题:** 写出$y = \sin x$、$y = \cos x$和$y = \tan x$的定义域、值域和基准周期。

1. 对于$y = \sin x$：正弦对所有实数输入角度都有定义，输出始终落在-1到1之间。
2. 定义域：$x \in \mathbb{R}$，值域：$[-1, 1]$，周期：$2\pi$
3. 对于$y = \cos x$：余弦与正弦有相同的定义域、值域和基准周期。
4. 定义域：$x \in \mathbb{R}$，值域：$[-1, 1]$，周期：$2\pi$
5. 对于$y = \tan x$：正切等于$\frac{\sin x}{\cos x}$，因此当$\cos x = 0$时无定义，输出可以是任意实数，基准周期是正弦/余弦的一半。
6. 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$，值域：$\mathbb{R}$，周期：$\pi$

> **tip**
>
> IB AI HL 中三角函数图像几乎总是使用弧度。如果题目提到度数，请务必确认单位。

## 正弦型图像的变换

任意变换后的正弦或余弦函数都可以写成标准形式 $y = A\sin(B(x - C)) + D$ 或 $y = A\cos(B(x - C)) + D$，其中每个常数对应基准图像的一种变换。

**正弦型变换参数** — $|A|$ = 振幅，$\frac{2\pi}{|B|}$ = 周期，$C$ = 相位偏移（水平偏移），$D$ = 垂直偏移（中线）。

*记法:* y = A\sin(B(x-C)) + D

**例题:** 求$y = 3\sin(2x - \pi) + 1$的振幅、周期、中线和相位偏移。

1. 步骤1：将函数改写为标准因式分解形式：
2. $$y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) + 1$$
3. 步骤2：从标准形式中提取各个参数：
4. - 振幅 = $|A| = |3| = 3$
- 周期 = $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
- 中线 = $y = D = 1$
- 相位偏移 = $\frac{\pi}{2}$ 单位向右
5. 步骤3：验证：最大值 = $1 + 3 = 4$，最小值 = $1 - 3 = -2$，与计算出的参数一致。

**概念自测**

测试你对周期计算的理解：

1. What is the period of $y = \cos(4x)$?

   - $4\pi$
   - $\frac{\pi}{2}$
   - $2\pi$
   - $\frac{\pi}{4}$

   *答案:* $\frac{\pi}{2}$

   *解析:* 正确！正弦型函数的周期总是$\frac{2\pi}{|B|}$，因此$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。

## 绘制变换后的正弦型图像

要绘制准确的正弦型图像，在绘制光滑曲线前，请先标记出关键特征：中线、最大/最小值，以及相位偏移对应的起始位置。

**例题:** 在$0 \leq x \leq 2\pi$范围内绘制$y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1$的图像。

1. 步骤1：改写为标准形式并提取参数：
2. $$y = 2\cos\left(1\left(x - (-\frac{\pi}{2})\right)\right) - 1$$
3. 振幅 = 2，周期 = $2\pi$，相位偏移 = $\frac{\pi}{2}$ 向左，中线 = $y=-1$。最大值 = $1$，最小值 = $-3$。
4. 步骤2：在区间$[0, 2\pi]$中绘制关键点：
5. 关键点为：$(0, -1)$，$(\frac{\pi}{2}, -3)$（最小值），$(\pi, -1)$，$(\frac{3\pi}{2}, 1)$（最大值），$(2\pi, -1)$。
6. 步骤3：连接这些点绘制一条光滑波浪线，在区间内完成一个完整周期。

> **tip**
>
> 绘图时请务必标注坐标轴、中线和关键极值点。如果缺少这些必要特征会被扣分。

## 正切图像的变换

正切图像遵循与正弦和余弦相同的变换规则，但它的基准周期是$\pi$，因此周期公式不同。正切在每个周期的端点也存在垂直渐近线，会随图像一起偏移。

**例题:** 求$0 \leq x \leq 2\pi$范围内$y = \tan(2x)$所有渐近线的方程。

1. 步骤1：记住基准$y = \tan(\theta)$在$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$（所有整数$k$）处存在渐近线。
2. 步骤2：代入$\theta = 2x$并求解$x$：
3. $$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$
4. 步骤3：找出区间$[0, 2\pi]$内所有$x$：
5. 渐近线为 $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 求相位偏移时忘记将$B$从自变量中提出，直接将未因式分解的常数项当作$C$。
  - 原因: 只有在因式分解后的标准形式$A\sin(B(x-C)) + D$中，相位偏移才能被正确定义。未因式分解的形式会得到错误的偏移值。
  - 正确做法: 读取相位偏移前，始终将$A\sin(Bx - C) + D$改写为$A\sin(B(x - \frac{C}{B})) + D$。
- **错误做法:** 将正切函数的周期计算为$\frac{2\pi}{B}$，而不是$\frac{\pi}{B}$。
  - 原因: Base tangent has a period of $\pi$, not $2\pi$ like sine and cosine, so the period formula is different.
  - 正确做法: 所有变换后的正切函数，周期始终等于$\frac{\pi}{|B|}$。
- **错误做法:** 混淆相位偏移的方向，认为$y = \sin(x + C)$向右偏移$C$个单位。
  - 原因: 标准形式是$\sin(x - C)$，因此函数内部加上一个正常数对应负偏移。
  - 正确做法: $y = \sin(x + C) = \sin(x - (-C))$，因此它向左偏移$C$个单位。
- **错误做法:** 当$A$为负数时，认为振幅是负数。
  - 原因: 振幅是到中线的距离，因此始终非负。负$A$只是翻转图像，不会改变振幅。
  - 正确做法: 无论$A$的符号如何，振幅始终是$|A|$。

## 速查表

| 函数类型 | 标准形式 | 振幅 | 周期 | 基准渐近线 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 正弦/余弦 | $y = A\sin(B(x-C)) + D$ | $\|A\|$ | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | None |
| 正切 | $y = A\tan(B(x-C)) + D$ | N/A | $\frac{\pi}{\|B\|}$ | $x = \frac{\pi}{2B} + \frac{k\pi}{B} + C$ |
| 偏移后的正弦型函数 | As above | $\|A\|$ | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | None |
| 翻转后的正弦型函数 | As above | $\|A\|$ | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | None |

## 下一步

三角函数图像是对潮汐、季节温度、声波等真实世界周期现象建模的基础，这类问题是IB AI HL中常见的拓展回答题。掌握图像性质也是准确求解三角方程、解释数据拟合三角模型参数的必要基础。接下来，你将在此知识基础上学习求解方程，并将这些图像应用到实际问题中。

- [求解三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-solving-trigonometric-equations/)
- [向量：基础、运算、点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vectors-basics-operations-dot-product/)
- [直线的向量方程与交点问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-equation-of-a-line/)

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