三维平面、直线与平面的交点

IB 数学：应用与解释 HL· 35 分钟阅读

1. 三维平面的方程★★☆☆☆⏱ 10 min

平面是三维空间中无限延伸的平坦二维曲面。IB考试中常用两种形式表示平面：笛卡尔形式和向量形式，两种形式都需要用到平面上的一个点和一个法向量来定义。

📘 定义

平面的法向量

$n = a b c$

垂直于平面内所有方向向量的非零向量

例:

包含整个x轴的平面的法向量为 $010$

\text{Cartesian form: } ax + by + cz = d, \quad d = \vec{n} \cdot \vec{r}_0

\text{Vector form: } \vec{r} = \vec{r}_0 + \lambda \vec{v}_1 + \mu \vec{v}_2

📐 例题

求过点 $(2, 1, 0)$ 且法向量为 $13 - 2$ 的平面的笛卡尔方程

1
从一般笛卡尔形式开始，代入法向量给出的 $a, b, c$ 值：
2
$1x + 3y - 2z = d$
3
代入点 $(2, 1, 0)$ 计算 $d$ ：
4
$d = (1)(2) + (3)(1) + (-2)(0) = 5$
5
写出最终方程：
6
$x + 3y - 2z = 5$

2. 直线与平面的唯一交点★★★☆☆⏱ 15 min

当直线不平行于平面时，直线与平面恰好交于一点。求交点的方法很直接：将直线的参数方程代入平面的笛卡尔方程，求解参数，再代回得到坐标。

📐 例题

求直线 $x = 1 + λ$ , $y = - λ$ , $z = 2 + 2 λ$ 与平面 $x + 2 y - z = 5$ 的交点。

1
将 $x, y, z$ 的参数表达式代入平面方程：
2
$(1 + \lambda) + 2(-\lambda) - (2 + 2\lambda) = 5$
3
化简并求解 $λ$ ：
4
$1 + \lambda - 2\lambda - 2 - 2\lambda = 5 \implies -3\lambda - 1 = 5 \implies \lambda = -2$
5
代入 $λ = - 2$ 得到坐标：
6
$x = 1 - 2 = -1, \quad y = -(-2) = 2, \quad z = 2 + 2(-2) = -2$
7
最终交点： $(- 1, 2, - 2)$

3. 特殊情况：无交点或无穷多交点★★★★☆⏱ 15 min

当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线平行于平面，此时有两种可能的结果：

无交点：直线平行但不在平面内，无解。
无穷多交点：整条直线都在平面内，直线上每个点都是交点。

📐 例题

判断直线 $r = 102 + λ 111$ 与平面 $2 x - 4 y + 2 z = 10$ 的相交类型。

1
确定直线的方向向量 $d = 111$ 和平面的法向量 $n = 2 - 4 2$ 。
2
计算点积判断直线是否平行：
3
$\vec{d} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (1)(2) = 0$
4
点积为零，说明直线平行于平面。检查直线上的已知点是否在平面上：
5
$2(1) - 4(0) + 2(2) = 2 + 0 + 4 = 6 \neq 10$
6
结论：直线平行于平面，但直线上没有点在平面上，因此无交点。

4. 实际应用★★★★☆⏱ 10 min

直线与平面交点问题是IB AI HL考试中常见的实际应用考点，涉及抛体运动、无人机导航、三维制造设计等。这类问题的求解步骤与抽象几何问题完全一致。

📐 例题

一架无人机沿路径飞行， $t$ 秒时的位置为 $(t, 2 t, 10 - t)$ （坐标单位为米）。停机坪位于平面 $z = 0$ 上。求无人机降落的时间和降落位置。

1
与停机坪的交点出现在 $z = 0$ 处，因此令z坐标等于0：
2
$10 - t = 0 \implies t = 10 \text{ 秒}$
3
代入 $t = 10$ 得到降落坐标：
4
$x = 10, \quad y = 2(10) = 20, \quad z = 0$
5
无人机在10秒后降落在位置 $(10, 20, 0)$ 米处。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为平行直线一定没有交点

原因:

如果整条直线都在平面内，则有无穷多交点，这是考试中常见的陷阱题

正确做法:

确认 $d \cdot n = 0$ 后，要取直线上一点验证它是否在平面内

错误做法:

计算平面方程的 $d$ 时出现符号错误

原因:

展开 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ 时的错误经常会导致 $d$ 的符号错误

正确做法:

计算完 $d$ 后，一定要将原点点代回最终方程验证

错误做法:

混淆法向量和方向向量

原因:

混淆哪个向量垂直于平面会导致点积结果错误

正确做法:

记住：法向量 = 垂直于平面，方向向量 = 平行于平面

错误做法:

求出参数后就停止，不验证一致性

原因:

忘记检查平行情况会得到错误的参数值，导致得到错误的交点

正确做法:

一定要先计算点积，或者验证最终得到的点满足平面方程

6. 速查表

相交情况	向量条件	解的个数
直线与平面相交	$d \cdot n \neq = 0$	1个唯一交点
直线平行，不在平面内	$d \cdot n = 0$ , 点 $\in /$ 平面	0个交点
直线在平面内	$d \cdot n = 0$ , 点 $\in$ 平面	无穷多交点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 2
求直线与平面的交点
2021 · 1
判断直线与平面的相交类型

下一步

掌握直线与平面相交为IB AI HL中更复杂的三维几何主题打下基础，包括多个平面的相交，该主题依赖相同的向量逻辑和线性方程组解情况的理解。这个主题也经常和向量应用问题结合，比如三维空间的运动学，因此熟练掌握相交情况分类能帮你在考试的多问题目中节省时间。