二维与三维坐标几何

IB 数学 AI HL· 45 分钟阅读

1. 距离、中点与分点公式★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

两点间距离

$d (P_{1}, P_{2})$

两点之间的最短直线路径，由勾股定理推导而来，适用于二维和三维空间。

例:

点 $(1, 2)$ 和 $(4, 6)$ 之间的距离为 $5$ 个单位

所有核心的距离和中点公式都可以自然地从二维扩展到三维，只需增加一个 $z$ 坐标项。分点公式用于求解按给定比例分割线段的点的坐标。

\begin{aligned} \text{2D distance: } d &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ \text{3D distance: } d &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\ \text{Section ratio } k:m \text{ (internal): } P &= \left(\frac{mx_1 + kx_2}{k+m}, \frac{my_1 + ky_2}{k+m}, \frac{mz_1 + kz_2}{k+m}\right) \end{aligned}

📐 例题

求内部分割线段 $A (1, 2, - 3)$ 和 $B (3, 4, 5)$ 为比例 $2 : 1$ 的点的坐标。

1
确定输入值： $A (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (1, 2, - 3)$ ， $B (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (3, 4, 5)$ ，比例 $k : m = 2 : 1$
2
对每个坐标应用分点公式：
3
$x = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3)}{2 + 1} = \frac{7}{3}, \quad y = \frac{(1 \times 2) + (2 \times 4)}{3} = \frac{10}{3}, \quad z = \frac{(1 \times -3) + (2 \times 5)}{3} = \frac{7}{3}$
4
最终答案：所求点坐标为 $(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}, \frac{7}{3})$

Exam tip:

务必确认题目要求的是内分还是外分；外分需要翻转比例项的符号。

2. 直线方程★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

直线

$r = a + t d$

由一个固定初始点（位置向量为 $a$ ）和一个定义直线方向的常数方向向量 $d$ 确定的点集。参数 $t$ 对 $d$ 进行缩放，可得到直线上任意点。

在IB AI HL中，你主要会使用二维和三维直线的参数向量形式。要求过两点 $A$ 和 $B$ 的直线的方向向量，只需计算 $A B = B - A$ 。

📐 例题

求过点 $(2, - 1, 3)$ 且平行于向量 $2 i - j + 4 k$ 的直线的参数方程。

1
写出参数方程的一般形式：
2
$x = x_0 + td_x, \quad y = y_0 + td_y, \quad z = z_0 + td_z$
3
代入已知点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (2, - 1, 3)$ 和方向向量分量 $(d_{x}, d_{y}, d_{z}) = (2, - 1, 4)$
4
最终参数方程为：
5
$x = 2 + 2t, \quad y = -1 - t, \quad z = 3 + 4t, \quad t \in \mathbb{R}$

3. 两条直线的相交★★★☆☆⏱ 20 min

两条直线的位置关系有四种：(1) 相交（交于恰好一个点），(2) 平行（永不相交，方向向量成标量倍数关系），(3) 重合（同一条直线），或(4) 异面（仅存在于三维空间：不平行且永不相交）。判断相交的方法是令参数坐标相等，求解参数。

📐 例题

判断直线 $L_{1} : x = 1 + s, y = 2 + 3 s, z = - s$ 和 $L_{2} : x = 2 t, y = 1 + t, z = 1 + 3 t$ 是否相交。

1
令对应坐标相等，得到方程组：
2
$1 + s = 2t, \quad 2 + 3s = 1 + t, \quad -s = 1 + 3t$
3
求解前两个方程：整理第一个方程得 $s = 2 t - 1$ ，代入第二个方程：
4
$2 + 3(2t - 1) = 1 + t \implies 5t = 2 \implies t = \frac{2}{5}, s = -\frac{1}{5}$
5
检验解是否满足第三个方程：左边 $- s = \frac{1}{5}$ ，右边 $1 + 3 (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$ ，不相等。
6
结论：不存在一致解，因此两条直线不相交。

✓ 快速检测

如果上述两条直线不平行，它们是什么位置关系？

示例中直线的分类是什么？
- 重合
- 异面
- 垂直
显示答案
Skew —
异面直线仅存在于三维空间中，定义为不平行且永不相交的直线。

4. 两条直线的夹角★★★☆☆⏱ 15 min

两条直线的夹角定义为它们方向向量之间最小的（锐角）夹角。我们使用点积公式，并添加绝对值确保得到 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之间的锐角。

\cos\theta = \frac{|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}|}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|}

📐 例题

求方向向量为 $d_{1} = 21 - 1$ 和 $d_{2} = 1 - 1 1$ 的两条直线的夹角。

1
计算两个方向向量的点积：
2
$\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 2 - 1 - 1 = 0$
3
代入夹角公式： $cos θ = \frac{∣0∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣} = 0$
4
因此 $θ = 9 0^{\circ}$ ，两条直线垂直。

Exam tip:

考试题目总是要求两条直线之间的锐角，所以永远不要将钝角作为最终答案。

5. 常见陷阱

错误做法:

在比例 $A P : P B$ 的分点公式中颠倒权重

原因:

你混淆了哪个点对应哪个权重，导致坐标错误

正确做法:

若 $P$ 按比例 $k : m$ 分割 $A B$ ，坐标公式为 $P = \frac{m A + k B}{k + m}$ ，因此 $A$ 的权重对应 $B$ 的比例项

错误做法:

检验三维直线相交时跳过第三个坐标的验证

原因:

即使是不相交的异面直线，前两个方程也总有解

正确做法:

在得出直线相交的结论前，一定要将解出的参数代入三个方程验证一致性

错误做法:

计算两直线夹角时忘记公式中的绝对值

原因:

你会算出钝角，而非题目要求的锐角

正确做法:

永远对点积取绝对值，最终答案给出锐角

错误做法:

认为所有不相交的三维直线都是平行的

原因:

异面直线是三维空间中特有的、不相交也不平行的常见情况

正确做法:

在将不相交直线分类为平行前，一定要先检查方向向量是否成标量倍数关系

错误做法:

计算距离时坐标相减出错

原因:

你交换了 $x$ 和 $y$ 项，导致距离计算错误

正确做法:

清晰标记点，平方前永远是 $x_{2}$ 减 $x_{1}$ ， $y_{2}$ 减 $y_{1}$

6. 速查表

概念	二维公式	三维公式
$P_{1}, P_{2}$ 两点间距离	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$
$P_{1} P_{2}$ 的中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2})$
按比例 $k : m$ 分割的分点	$(\frac{m x _{1} + k x _{2}}{k + m}, \frac{m y _{1} + k y _{2}}{k + m})$	$(\frac{m x _{1} + k x _{2}}{k + m}, \frac{m y _{1} + k y _{2}}{k + m}, \frac{m z _{1} + k z _{2}}{k + m})$
直线向量方程	$r = a + t d$	$r = a + t d$
两直线的夹角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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三维直线相交
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直线间的距离和夹角
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分点公式应用题

下一步

掌握二维和三维坐标几何是IB AI HL几何与三角单元所有剩余内容的基础。你在这里学到的技能，尤其是处理直线、方向向量和求解相交方程组的能力，会直接扩展到三维空间中的平面、求解直线与平面的相交，以及计算复杂三维形状的体积和表面积。这些概念也会直接应用到向量运动学中，你会用直线方程建模质点在二维和三维空间中的运动。