# 二维与三维坐标几何

> IB 数学 AI HL · 第三单元：几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/

本模块讲解二维和三维空间的核心坐标几何概念，包括距离、中点、比例分点和直线方程。你将学习如何解决IB AI HL考试中常见的相交和夹角问题。

**先修:** [基础向量运算和符号表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-vector-basics/)

## 学习目标

- 计算二维和三维空间中的距离、中点和分点坐标
- 写出直线的参数方程和向量形式
- 对两条直线分类并判断它们是否相交
- 计算两条直线之间的锐角

## 距离、中点与分点公式

**两点间距离** — 两点之间的最短直线路径，由勾股定理推导而来，适用于二维和三维空间。

*记法:* $d(P_1, P_2)$

*例:* 点$(1,2)$和$(4,6)$之间的距离为$5$个单位

所有核心的距离和中点公式都可以自然地从二维扩展到三维，只需增加一个$z$坐标项。分点公式用于求解按给定比例分割线段的点的坐标。

$$\begin{aligned} \text{2D distance: } d &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ \text{3D distance: } d &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\ \text{Section ratio } k:m \text{ (internal): } P &= \left(\frac{mx_1 + kx_2}{k+m}, \frac{my_1 + ky_2}{k+m}, \frac{mz_1 + kz_2}{k+m}\right) \end{aligned}$$

**例题:** 求内部分割线段$A(1, 2, -3)$和$B(3, 4, 5)$为比例$2:1$的点的坐标。

1. 确定输入值：$A(x_1,y_1,z_1) = (1, 2, -3)$，$B(x_2,y_2,z_2) = (3, 4, 5)$，比例$k:m = 2:1$
2. 对每个坐标应用分点公式：
3. $$x = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3)}{2 + 1} = \frac{7}{3}, \quad y = \frac{(1 \times 2) + (2 \times 4)}{3} = \frac{10}{3}, \quad z = \frac{(1 \times -3) + (2 \times 5)}{3} = \frac{7}{3}$$
4. 最终答案：所求点坐标为$\left(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$

> **考试提示:** 务必确认题目要求的是内分还是外分；外分需要翻转比例项的符号。

## 直线方程

**直线** — 由一个固定初始点（位置向量为$\vec{a}$）和一个定义直线方向的常数方向向量$\mathbf{d}$确定的点集。参数$t$对$\mathbf{d}$进行缩放，可得到直线上任意点。

*记法:* $\vec{r} = \vec{a} + t\mathbf{d}$

在IB AI HL中，你主要会使用二维和三维直线的参数向量形式。要求过两点$A$和$B$的直线的方向向量，只需计算$\vec{AB} = B - A$。

**例题:** 求过点$(2, -1, 3)$且平行于向量$2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$的直线的参数方程。

1. 写出参数方程的一般形式：
2. $$x = x_0 + td_x, \quad y = y_0 + td_y, \quad z = z_0 + td_z$$
3. 代入已知点$(x_0, y_0, z_0) = (2, -1, 3)$和方向向量分量$(d_x, d_y, d_z) = (2, -1, 4)$
4. 最终参数方程为：
5. $$x = 2 + 2t, \quad y = -1 - t, \quad z = 3 + 4t, \quad t \in \mathbb{R}$$

> **tip**
>
> 方向向量可以指向直线的任意方向；将$\mathbf{d}$的所有分量取负不会改变直线本身。

## 两条直线的相交

两条直线的位置关系有四种：(1) 相交（交于恰好一个点），(2) 平行（永不相交，方向向量成标量倍数关系），(3) 重合（同一条直线），或(4) 异面（仅存在于三维空间：不平行且永不相交）。判断相交的方法是令参数坐标相等，求解参数。

**例题:** 判断直线$L_1: x = 1 + s, y = 2 + 3s, z = -s$和$L_2: x = 2t, y = 1 + t, z = 1 + 3t$是否相交。

1. 令对应坐标相等，得到方程组：
2. $$1 + s = 2t, \quad 2 + 3s = 1 + t, \quad -s = 1 + 3t$$
3. 求解前两个方程：整理第一个方程得$s = 2t - 1$，代入第二个方程：
4. $$2 + 3(2t - 1) = 1 + t \implies 5t = 2 \implies t = \frac{2}{5}, s = -\frac{1}{5}$$
5. 检验解是否满足第三个方程：左边$-s = \frac{1}{5}$，右边$1 + 3(\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$，不相等。
6. 结论：不存在一致解，因此两条直线不相交。

**概念自测**

如果上述两条直线不平行，它们是什么位置关系？

1. 示例中直线的分类是什么？

   - 重合
   - 异面
   - 垂直

   *解析:* 异面直线仅存在于三维空间中，定义为不平行且永不相交的直线。

## 两条直线的夹角

两条直线的夹角定义为它们方向向量之间最小的（锐角）夹角。我们使用点积公式，并添加绝对值确保得到$0^\circ$到$90^\circ$之间的锐角。

$$\cos\theta = \frac{|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}|}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|}$$

**例题:** 求方向向量为$\mathbf{d_1} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$和$\mathbf{d_2} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$的两条直线的夹角。

1. 计算两个方向向量的点积：
2. $$\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 2 - 1 - 1 = 0$$
3. 代入夹角公式：$\cos\theta = \frac{|0|}{|\mathbf{d_1}||\mathbf{d_2}|} = 0$
4. 因此$\theta = 90^\circ$，两条直线垂直。

> **考试提示:** 考试题目总是要求两条直线之间的锐角，所以永远不要将钝角作为最终答案。

## 常见错误

- **错误做法:** 在比例$AP:PB$的分点公式中颠倒权重
  - 原因: 你混淆了哪个点对应哪个权重，导致坐标错误
  - 正确做法: 若$P$按比例$k:m$分割$AB$，坐标公式为$P = \frac{m A + k B}{k+m}$，因此$A$的权重对应$B$的比例项
- **错误做法:** 检验三维直线相交时跳过第三个坐标的验证
  - 原因: 即使是不相交的异面直线，前两个方程也总有解
  - 正确做法: 在得出直线相交的结论前，一定要将解出的参数代入三个方程验证一致性
- **错误做法:** 计算两直线夹角时忘记公式中的绝对值
  - 原因: 你会算出钝角，而非题目要求的锐角
  - 正确做法: 永远对点积取绝对值，最终答案给出锐角
- **错误做法:** 认为所有不相交的三维直线都是平行的
  - 原因: 异面直线是三维空间中特有的、不相交也不平行的常见情况
  - 正确做法: 在将不相交直线分类为平行前，一定要先检查方向向量是否成标量倍数关系
- **错误做法:** 计算距离时坐标相减出错
  - 原因: 你交换了$x$和$y$项，导致距离计算错误
  - 正确做法: 清晰标记点，平方前永远是$x_2$减$x_1$，$y_2$减$y_1$

## 速查表

| 概念 | 二维公式 | 三维公式 |
| --- | --- | --- |
| $P_1, P_2$两点间距离 | $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ | $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ |
| $P_1P_2$的中点 | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$ |
| 按比例$k:m$分割的分点 | $\left(\frac{mx_1+kx_2}{k+m}, \frac{my_1+ky_2}{k+m}\right)$ | $\left(\frac{mx_1+kx_2}{k+m}, \frac{my_1+ky_2}{k+m}, \frac{mz_1+kz_2}{k+m}\right)$ |
| 直线向量方程 | $\vec{r} = \vec{a} + t\mathbf{d}$ | $\vec{r} = \vec{a} + t\mathbf{d}$ |
| 两直线的夹角 | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\|}{\|\mathbf{d_1}\|\|\mathbf{d_2}\|}$ | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\|}{\|\mathbf{d_1}\|\|\mathbf{d_2}\|}$ |

## 下一步

掌握二维和三维坐标几何是IB AI HL几何与三角单元所有剩余内容的基础。你在这里学到的技能，尤其是处理直线、方向向量和求解相交方程组的能力，会直接扩展到三维空间中的平面、求解直线与平面的相交，以及计算复杂三维形状的体积和表面积。这些概念也会直接应用到向量运动学中，你会用直线方程建模质点在二维和三维空间中的运动。

- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-right-triangle-trigonometry/)
- [非直角三角形：正弦定理、余弦定理、面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-non-right-triangles-law-of/)
- [单位圆、弧度制、三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-unit-circle-radian-measure-trigonometric/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/