图像变换

IB 数学：应用与解释 HL· Unit 2: Functions, Topic 3: Transformations of graphs· 20 分钟阅读

1. 图像的平移★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

平移

Vertical: $y = f (x) + k$ , Horizontal: $y = f (x - h)$

将图像上所有点沿固定方向移动相同距离的刚体变换。它不会改变图像的形状、大小或方向。

例:

将抛物线向左平移2个单位，向上平移3个单位

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2}$ ，写出 $f (x)$ 向上平移3个单位、向左平移2个单位后的方程，写出新顶点的坐标。

1
回忆水平平移法则：向左平移2个单位意味着将 $x$ 替换为 $x + 2$ ：
2
$f(x+2) = (x+2)^2$
3
向上平移3个单位的垂直平移是在函数外加上+3：
4
最终方程是 $y = f (x + 2) + 3$ ：
5
$y = (x+2)^2 + 3$
6
原顶点是 $(0, 0)$ 。向左平移2、向上平移3后得到新顶点：
7
$(-2, 3)$

Exam tip:

务必确认水平平移的方向，这是考试中最常见的错误点。

2. 图像的反射★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

反射

Over x-axis: $y = - f (x)$ , Over y-axis: $y = f (- x)$

将图像沿给定反射线翻转，得到原图像镜像的变换。

📐 例题

原函数 $g (x) = e^{x}$ 的y轴截距在 $(0, 1)$ ，水平渐近线为 $y = 0$ 。求沿x轴反射后的新截距和渐近线。

1
沿x轴反射会将所有函数值乘以-1，因此新函数是：
2
$y = -g(x) = -e^x$
3
代入 $x = 0$ 求新的y轴截距：
4
$y = -e^0 = -1$
5
渐近线 $y = 0$ 保持不变，因为 $- 0 = 0$ 。
6
最终答案：截距在 $(0, - 1)$ ，渐近线 $y = 0$

Exam tip:

标注你要反射的坐标轴，避免混淆变换法则。

3. 拉伸与压缩★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

拉伸 / 压缩

Vertical stretch by $a$ : $y = a f (x)$ , Horizontal stretch by $b$ : $y = f (\frac{x}{b})$

沿x轴或y轴按比例缩放图像的非刚体变换，会改变点之间的距离但不改变整体形状。

📐 例题

已知 $h (x) = sin x$ 的振幅为1，周期为 $2 π$ ，求竖直拉伸3倍、水平压缩2倍后的方程，写出新的振幅和周期。

1
竖直拉伸3倍即将整个函数乘以3：
2
$y = 3 h(x)$
3
水平压缩2倍等价于水平拉伸 $\frac{1}{2}$ 倍，因此将 $x$ 替换为 $\frac{x}{1/2} = 2 x$ ：
4
$y = 3 \sin(2x)$
5
新振幅 = 3 × 原振幅 = 3，新周期 = 原周期 × 1/2 = $π$

4. 组合变换★★★★☆⏱ 15 min

当应用多个变换时，顺序很重要。遵循标准运算顺序，我们总是先处理 $f (x)$ 内部的所有变换（水平变换），然后是拉伸/压缩，最后处理 $f (x)$ 外部的变换（竖直变换）。

📐 例题

从 $f (x) = x^{2}$ 开始，写出向右平移1个单位、竖直拉伸2倍、再向下平移4个单位后的方程。

1
步骤1：向右平移1个单位（先处理 $f (x)$ 内部）：将 $x$ 替换为 $x - 1$ ：
2
$f(x-1) = (x-1)^2$
3
步骤2：竖直拉伸2倍（乘以2）：
4
$2(x-1)^2$
5
步骤3：向下平移4个单位（最后处理竖直变换）：减去4：
6
$y = 2(x-1)^2 - 4$
7
如果我们先平移再拉伸，会得到错误结果 $y = 2 (x - 1)^{2} - 8$ 。

✓ 快速检测

测试你对组合变换顺序的理解

从 $y = f (x)$ 得到 $y = 3 f (2 x + 4) + 1$ 的正确变换顺序是什么？
- A. 向左平移4，水平拉伸 by $\frac{1}{2}$ ，竖直拉伸 by 3，向上平移 1
- B. 向右平移4，水平拉伸 by 2，竖直拉伸 by 3，向上平移 1
- C. 水平拉伸 by $\frac{1}{2}$ ，向左平移 2，竖直拉伸 by 3，向上平移 1
显示答案
C —
正确！首先对 $f$ 内部 $x$ 的系数提公因子： $y = 3 f (2 (x + 2)) + 1$ ，因此我们先处理拉伸，再处理平移。

Exam tip:

在确定水平平移量之前，务必先对 $f (x)$ 内部 $x$ 的系数提公因子，这能帮你避免常见错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $f (x + 3)$ 理解为向右平移3个单位

原因:

$f (x)$ 内部的变换方向与符号相反

正确做法:

$f (x + 3)$ 将图像向左平移3个单位

错误做法:

将 $y = f (2 x)$ 称为水平拉伸2倍

原因:

水平变换的拉伸法则是反过来的

正确做法:

$y = f (2 x)$ 是水平压缩2倍（拉伸 by $\frac{1}{2}$ ）

错误做法:

先应用竖直变换再应用水平变换

原因:

运算顺序要求先处理函数内部的变换

正确做法:

始终先应用 $f (x)$ 内部的所有变换，再处理 $f (x)$ 外部的变换

错误做法:

对于竖直拉伸，只缩放首项，忘记缩放所有y值

原因:

图像上每个点都要竖直拉伸，不只是曲线形状

正确做法:

将所有y坐标（包括截距）乘以竖直拉伸因子

错误做法:

混淆反射法则：认为 $y = - f (x)$ 是沿y轴反射

原因:

混淆了哪个坐标被改变

正确做法:

$y = - f (x)$ 改变y的符号，因此是沿x轴反射

6. 速查表

变换	记号	对 $(x, y)$ 的影响
向上平移 $k$ 个单位的竖直平移	$y = f(x) + k	$(x, y) \to (x, y + k)$
向右平移 $h$ 个单位的水平平移	$y = f (x - h)$	$(x, y) \to (x + h, y)$
向左平移 $h$ 个单位的水平平移	$y = f (x + h)$	$(x, y) \to (x - h, y)$
沿x轴反射	$y = - f (x)$	$(x, y) \to (x, - y)$
沿y轴反射	$y = f (- x)$	$(x, y) \to (- x, y)$
竖直拉伸 by 因子 $a$	$y = a f (x)$	$(x, y) \to (x, a y)$
水平拉伸 by 因子 $b$	$y = f (x / b)$	$(x, y) \to (b x, y)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

图像变换是IB AI HL中所有函数相关内容的基础工具。你在处理现实数据的三角函数、指数函数、对数函数建模，绘制优化问题的图像，求解反函数问题时都会不断用到它。掌握变换能帮你在试卷1和试卷2的考试中节省时间，也是内部评估建模任务的必备基础。