# 图像变换

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-transformations-of-graphs/

本子主题涵盖函数图像的单次和组合变换，包括平移、反射、拉伸和压缩。你将学习写出变换后的方程，并在图像之间映射关键点。

**先修:** [基本函数符号和绘图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-introduction-to-functions/)

## 学习目标

- 识别每种变换对图像关键特征的影响
- 写出单次/组合变换后图像的方程
- 在原图像和变换后图像之间映射关键点
- 应用变换对现实世界函数建模

## 图像的平移

**平移** — 将图像上所有点沿固定方向移动相同距离的刚体变换。它不会改变图像的形状、大小或方向。

*记法:* Vertical: $y = f(x) + k$, Horizontal: $y = f(x - h)$

*例:* 将抛物线向左平移2个单位，向上平移3个单位

**例题:** 已知 $f(x) = x^2$，写出$f(x)$向上平移3个单位、向左平移2个单位后的方程，写出新顶点的坐标。

1. 回忆水平平移法则：向左平移2个单位意味着将$x$替换为$x + 2$：
2. $$f(x+2) = (x+2)^2$$
3. 向上平移3个单位的垂直平移是在函数外加上+3：
4. 最终方程是 $y = f(x+2) + 3$：
5. $$y = (x+2)^2 + 3$$
6. 原顶点是 $(0,0)$。向左平移2、向上平移3后得到新顶点：
7. $$(-2, 3)$$

> **tip**
>
> 水平平移的方向总是与符号相反：$f(x + a)$向左平移$a$，$f(x - a)$向右平移$a$。

> **考试提示:** 务必确认水平平移的方向，这是考试中最常见的错误点。

## 图像的反射

**反射** — 将图像沿给定反射线翻转，得到原图像镜像的变换。

*记法:* Over x-axis: $y = -f(x)$, Over y-axis: $y = f(-x)$

**例题:** 原函数$g(x) = e^x$的y轴截距在$(0,1)$，水平渐近线为$y=0$。求沿x轴反射后的新截距和渐近线。

1. 沿x轴反射会将所有函数值乘以-1，因此新函数是：
2. $$y = -g(x) = -e^x$$
3. 代入$x=0$求新的y轴截距：
4. $$y = -e^0 = -1$$
5. 渐近线$y=0$保持不变，因为$-0 = 0$。
6. 最终答案：截距在$(0,-1)$，渐近线$y=0$

> **考试提示:** 标注你要反射的坐标轴，避免混淆变换法则。

## 拉伸与压缩

**拉伸 / 压缩** — 沿x轴或y轴按比例缩放图像的非刚体变换，会改变点之间的距离但不改变整体形状。

*记法:* Vertical stretch by $a$: $y = a f(x)$, Horizontal stretch by $b$: $y = f(\frac{x}{b})$

> **记忆技巧**
>
> $f()$ 外部的变化影响y（竖直方向），$f()$ 内部的变化影响x（水平方向），且内部所有变化的方向都与你预期的符号相反。

**例题:** 已知 $h(x) = \sin x$ 的振幅为1，周期为 $2\pi$，求竖直拉伸3倍、水平压缩2倍后的方程，写出新的振幅和周期。

1. 竖直拉伸3倍即将整个函数乘以3：
2. $$y = 3 h(x)$$
3. 水平压缩2倍等价于水平拉伸$\frac{1}{2}$倍，因此将$x$替换为$\frac{x}{1/2} = 2x$：
4. $$y = 3 \sin(2x)$$
5. 新振幅 = 3 × 原振幅 = 3，新周期 = 原周期 × 1/2 = $\pi$

## 组合变换

当应用多个变换时，**顺序很重要**。遵循标准运算顺序，我们总是先处理$f(x)$内部的所有变换（水平变换），然后是拉伸/压缩，最后处理$f(x)$外部的变换（竖直变换）。

**例题:** 从$f(x) = x^2$开始，写出向右平移1个单位、竖直拉伸2倍、再向下平移4个单位后的方程。

1. 步骤1：向右平移1个单位（先处理$f(x)$内部）：将$x$替换为$x-1$：
2. $$f(x-1) = (x-1)^2$$
3. 步骤2：竖直拉伸2倍（乘以2）：
4. $$2(x-1)^2$$
5. 步骤3：向下平移4个单位（最后处理竖直变换）：减去4：
6. $$y = 2(x-1)^2 - 4$$
7. 如果我们先平移再拉伸，会得到错误结果 $y = 2(x-1)^2 - 8$。

**概念自测**

测试你对组合变换顺序的理解

1. 从$y = f(x)$得到$y = 3f(2x + 4) + 1$的正确变换顺序是什么？

   - A. 向左平移4，水平拉伸 by $\frac{1}{2}$，竖直拉伸 by 3，向上平移 1
   - B. 向右平移4，水平拉伸 by 2，竖直拉伸 by 3，向上平移 1
   - C. 水平拉伸 by $\frac{1}{2}$，向左平移 2，竖直拉伸 by 3，向上平移 1

   *解析:* 正确！首先对$f$内部$x$的系数提公因子：$y = 3f\left(2(x+2)\right) + 1$，因此我们先处理拉伸，再处理平移。

> **考试提示:** 在确定水平平移量之前，务必先对$f(x)$内部$x$的系数提公因子，这能帮你避免常见错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$f(x + 3)$理解为向右平移3个单位
  - 原因: $f(x)$内部的变换方向与符号相反
  - 正确做法: $f(x + 3)$将图像向左平移3个单位
- **错误做法:** 将$y = f(2x)$称为水平拉伸2倍
  - 原因: 水平变换的拉伸法则是反过来的
  - 正确做法: $y = f(2x)$是水平压缩2倍（拉伸 by $\frac{1}{2}$）
- **错误做法:** 先应用竖直变换再应用水平变换
  - 原因: 运算顺序要求先处理函数内部的变换
  - 正确做法: 始终先应用$f(x)$内部的所有变换，再处理$f(x)$外部的变换
- **错误做法:** 对于竖直拉伸，只缩放首项，忘记缩放所有y值
  - 原因: 图像上每个点都要竖直拉伸，不只是曲线形状
  - 正确做法: 将所有y坐标（包括截距）乘以竖直拉伸因子
- **错误做法:** 混淆反射法则：认为$y = -f(x)$是沿y轴反射
  - 原因: 混淆了哪个坐标被改变
  - 正确做法: $y = -f(x)$改变y的符号，因此是沿x轴反射

## 速查表

| 变换 | 记号 | 对$(x,y)$的影响 |
| --- | --- | --- |
| 向上平移$k$个单位的竖直平移 | $y = f(x) + k | $(x,y) \to (x, y+k)$ |
| 向右平移$h$个单位的水平平移 | $y = f(x-h)$ | $(x,y) \to (x+h, y)$ |
| 向左平移$h$个单位的水平平移 | $y = f(x+h)$ | $(x,y) \to (x-h, y)$ |
| 沿x轴反射 | $y = -f(x)$ | $(x,y) \to (x, -y)$ |
| 沿y轴反射 | $y = f(-x)$ | $(x,y) \to (-x, y)$ |
| 竖直拉伸 by 因子$a$ | $y = a f(x)$ | $(x,y) \to (x, ay)$ |
| 水平拉伸 by 因子$b$ | $y = f(x/b)$ | $(x,y) \to (bx, y)$ |

## 下一步

图像变换是IB AI HL中所有函数相关内容的基础工具。你在处理现实数据的三角函数、指数函数、对数函数建模，绘制优化问题的图像，求解反函数问题时都会不断用到它。掌握变换能帮你在试卷1和试卷2的考试中节省时间，也是内部评估建模任务的必备基础。

- [二次函数：根、顶点与不等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/)

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