求解方程：代数法与图像法

IB 数学：应用与解释 HL· 2.9 用代数法和图像法求解方程· 10 分钟阅读

1. 多项式与有理方程的代数解法★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

方程的解

对于 $f (x) = 0$

使方程成立的值 $x = a$ ，也就是当方程整理为等于零的形式后满足 $f (a) = 0$

例:

$x = 2$ 是 $2 x - 4 = 0$ 的解，因为 $2 (2) - 4 = 0$

代数方法可以得到很多常见类型方程的精确根。对于一次方程 $a x + b = 0$ ，解总是 $x = - \frac{b}{a}$ 。对于二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，我们可以使用因式分解、配方法或二次求根公式得到精确根。

📐 例题

求解 $\frac{2 x}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} = 2$ ，找出所有有效解

1
两边同乘公分母 $(x - 1) (x + 1)$ 消去分母：
2
$2x(x+1) - 3(x-1) = 2(x-1)(x+1)$
3
展开所有项：
4
$2x^2 + 2x - 3x + 3 = 2x^2 - 2$
5
合并同类项化简：
6
$-x + 5 = 0 \implies x = 5$
7
代回原方程检验是否为增根：
8
$\text{LHS} = \frac{2(5)}{5-1} - \frac{3}{5+1} = 2.5 - 0.5 = 2 = \text{RHS}$
9
$x = 5$ 是有效解

Exam tip:

当你乘以含未知量的表达式时，一定要检验增根，这是IB考试拿到满分的必要要求。

2. 指数方程与对数方程的代数解法★★★☆☆⏱ 10 min

未知量在指数上的指数方程通常可以用对数性质精确求解。我们利用幂法则 $ln (a^{b}) = b ln (a)$ 把指数降到一次项，然后求解未知量。

📐 例题

求解 $3^{2 x - 1} = 7^{x + 2}$ 中的 $x$ ，结果保留三位小数

1
对两边取自然对数：
2
$\ln\left(3^{2x -1}\right) = \ln\left(7^{x+2}\right)$
3
应用对数幂法则：
4
$(2x -1)\ln 3 = (x + 2)\ln 7$
5
展开并把含 $x$ 的项整理到等号左侧：
6
$2x \ln 3 - \ln 3 = x \ln 7 + 2\ln 7 \\ x(2\ln 3 - \ln 7) = 2\ln 7 + \ln 3$
7
两边同除求解 $x$ ：
8
$x = \frac{2\ln 7 + \ln 3}{2\ln 3 - \ln 7}$
9
用计算器计算得到最终结果：
10
$x \approx 7.052$

✓ 快速检测

求解 $2 e^{3 x} = 10$ 的正确第一步是什么？

正确的第一步是什么？
- 两边先除以2，再取自然对数
- 先取自然对数，再除以2
- Set $3 x = ln (10)$
- Divide 10 by $2 e$

3. 近似求根的图像法★★☆☆☆⏱ 7 min

很多非线性方程（例如 $e^{- x} = x$ 或 $x^{3} - 2 x - 5 = 0$ ）无法用代数方法精确求解。对于这类方程，我们使用图形计算器（GDC）的图像法得到高精度近似根。

有两种常用方法：1) 将方程整理为 $f (x) = 0$ ，那么根就是 $y = f (x)$ 的 $x$ 截距。2) 将方程拆分为 $f (x) = g (x)$ ，那么根就是 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 交点的 $x$ 坐标。

📐 例题

用交点法求 $e^{- x} = x$ 的近似解

1
将方程拆分为两个函数绘制图像： $y_{1} = e^{- x}$ 和 $y_{2} = x$
2
在你的GDC上绘制两个函数，它们在 $x > 0$ 处恰好有一个交点
3
使用GDC的「交点」工具找到交点坐标
4
读取交点的 $x$ 坐标得到解： $x \approx 0.567$
5
验证： $e^{- 0.567} \approx 0.567$ ，与右侧相等

Exam tip:

考试前练习使用GDC上的「零点」和「交点」工具，这能节省大量时间并避免错误。

4. 代数法与图像法的比较★★★☆☆⏱ 6 min

方法对比

根据方程的形式和要求的输出选择方法：

代数法

适用于标准可求解方程类型的精确方法

+ 优点: 得到精确的解析根; 基础情况无需计算器

− 缺点: 仅适用于特定类型的方程; 可能产生增根

图像法

适用于任意可绘制方程的近似方法

+ 优点: 适用于所有可以绘图的方程; 可以直观看出根的数量

− 缺点: 仅能得到近似根; 需要图形计算器（GDC）

5. 常见陷阱

错误做法:

求解有理方程或对数方程后忘记检验增根

原因:

两边乘以含 $x$ 的表达式可能会引入使原方程分母为零或对数真数为负的值

正确做法:

一定要把所有得到的解代回原方程，确认它们满足原方程

错误做法:

仅使用代数法时遗漏多个根

原因:

高次多项式和非线性方程的根通常比初始代数变形得到的更多

正确做法:

开始求解前，先用GDC绘制函数图像确认根的数量

错误做法:

代数求解过程中对中间步骤四舍五入

原因:

过早四舍五入会导致最终答案不准确，对于指数方程和对数方程尤其明显

正确做法:

所有步骤都保留计算器全部精度，仅在最终结果按要求精度四舍五入

错误做法:

把交点的 $y$ -坐标当作解

原因:

The solution to $f (x) = g (x)$ is the value of $x$ that makes the equation true

正确做法:

Always confirm you report the $x$ -coordinate of the intersection as your solution

6. 速查表

方程类型	代数方法	图像替代法
一次方程 $a x + b = 0$	$x = - b / a$	$x$ -截距 of $y = a x + b$
二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$	因式分解或二次求根公式	抛物线的 $x$ -截距
含分式的有理方程	乘以分母，检验增根	左右两边函数的交点
指数方程 $a^{k x + b} = c^{m x + n}$	Take log, solve linear for $x$	Intersection of two exponentials
不可精确求解的非线性方程	Not applicable	Find $x$ -intercept or intersection

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求解二次方程和指数方程
2024 · 2
三次方程的图像解法
2023 · 1
识别有理方程的增根

下一步

求解方程是IB AI HL所有后续主题的基础技能，从应用建模到微积分和优化都离不开它。掌握精确法和近似法之间的选择能帮你应对现实世界的问题求解，因为大多数实际应用中的方程都无法用代数方法精确求解。这个子主题直接建立在基础函数知识之上，为核心应用主题（包括方程组、数值方法和现实模型的函数优化）做铺垫。

→反函数：代数解法
→函数建模