有理函数与渐近线

IB 数学：应用与解释 HL· 2.6 Rational functions and graphs· 15 分钟阅读

1. 什么是有理函数？★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

有理函数

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

可以表示为两个多项式 $p (x)$ （分子）和 $q (x)$ （分母）的比值，且 $q (x)$ 是非零多项式的函数。

例:

$f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x + 1}$ 是有理函数； $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ 不是。

有理函数的定义域不包含所有使分母为零的 $x$ 。这些被排除的值与图像上垂直渐近线和孔洞的位置密切相关。

📐 例题

判断下列函数中哪些是有理函数：(a) $f (x) = \frac{3 x ^{3} - 2 x + 1}{x ^{2} - 5}$ ，(b) $g (x) = 2 x + 5$

1
检查(a)：分子 $3 x^{3} - 2 x + 1$ 和分母 $x^{2} - 5$ 都是多项式，因此 $f (x)$ 是有理函数。
2
检查(b)：任意一次多项式都可以写成 $\frac{2 x + 5}{1}$ ，其中 $1$ 是常数多项式，因此 $g (x)$ 也是有理函数。

Exam tip:

求渐近线前一定要先化简有理函数，因为公因子会产生孔洞而非渐近线。

2. 垂直渐近线与孔洞★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

垂直渐近线

当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数趋近于 $+ \infty$ 或 $- \infty$ 的竖直线 $x = a$ ，图像会靠近但永远不会穿过这条线。

求垂直渐近线和孔洞的步骤如下：

将分子和分母完全因式分解
约去所有公共因子
被约去的因子对应 $x$ 位置处的孔洞
分母剩下的根就是垂直渐近线

📐 例题

求 $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - 1}$ 的所有垂直渐近线和孔洞

1
对分子和分母进行因式分解：
2
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2), \quad x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
3
约去公共因子 $(x - 1)$ ，得到化简后的函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}, x \neq = 1$
4
在 $x = 1$ 处存在一个孔洞。将 $x = 1$ 代入化简后的函数计算 $y$ 坐标：
5
$y = \frac{1 - 2}{1 + 1} = -\frac{1}{2} \implies \text{hole at } (1, -\frac{1}{2})$
6
化简后分母为零的位置就是垂直渐近线： $x + 1 = 0 ⟹ x = - 1$

3. 水平渐近线与斜渐近线★★★☆☆⏱ 5 min

水平渐近线和斜渐近线描述了有理函数当 $x \to + \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的端点行为，可以通过比较分子次数( $n$ )和分母次数( $d$ )求得。

若 $n < d$ ：水平渐近线为 $y = 0$
若 $n = d$ ：水平渐近线为 $y = \frac{分子的首项系数}{分母的首项系数}$
若 $n = d + 1$ ：斜渐近线等于分子除以分母的多项式除法商式
若 $n \geq d + 2$ ：不存在水平或斜渐近线

📐 例题

求 $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 2}{x - 1}$ 的端点行为渐近线

1
比较次数：分子次数 $n = 2$ ，分母次数 $d = 1$ 。由于 $n = d + 1$ ，存在斜渐近线。
2
将分子除以分母：
3
$2x^2 + 3x - 2 = (x - 1)(2x + 5) + 3$
4
商式为 $2 x + 5$ ，当 $x \to \pm \infty$ 时，余数 $3$ 趋近于 $0$ 。
5
因此斜渐近线为：
6
$y = 2x + 5$

4. 绘制有理函数图像★★★★☆⏱ 6 min

要绘制完整的有理函数图像，请遵循以下结构化步骤，在绘图前找出所有关键特征：

找出所有 $x$ 截距和 $y$ 截距
找出所有垂直渐近线和孔洞
找出描述端点行为的水平或斜渐近线
在垂直渐近线分隔出的每个区间内检验函数的符号
将渐近线画为虚线，标出关键点，然后绘制图像

📐 例题

找出所有关键特征并绘制 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ 的图像

1
求截距：分子为零时得到 $x$ 截距： $x = - 2 ⟹ (- 2, 0)$ 。 $x = 0$ 时得到 $y$ 截距： $y = \frac{2}{- 3} = - \frac{2}{3} ⟹ (0, - \frac{2}{3})$ 。
2
求垂直方向特征：没有公共因子，因此在 $x = 3$ 处有垂直渐近线，没有孔洞。
3
求端点行为：次数相等（ $n = d = 1$ ），因此水平渐近线为 $y = \frac{1}{1} = 1$ 。
4
检验符号：当 $x < 3$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 3$ 时， $f (x) > 0$ 。
5
将渐近线画为虚线，标出截距，然后画出两条趋近于渐近线的独立分支。

✓ 快速检测

检验你对渐近线法则的理解：

$f (x) = \frac{3 x ^{3} + 2 x}{x ^{2} + 1}$ 有哪种类型的渐近线？
- A)
  A：水平渐近线 $y = 3$
- B)
  B：斜渐近线
- C)
  C：垂直渐近线 $x = 1$
- D)
  D：不存在渐近线
显示答案
B —
分子次数为3，分母次数为2，因此 $n = d + 1$ ，这意味着存在斜渐近线。

5. 常见陷阱

错误做法:

求垂直渐近线前忘记约去公共因子

原因:

被约去的公共因子产生的是孔洞，不是垂直渐近线

正确做法:

一定要先完全因式分解并约去公共因子，再从化简后的函数中求渐近线

错误做法:

当分子次数比分母次数大2时，错误地认为存在斜渐近线

原因:

斜渐近线仅当分子次数恰好比分母次数大1时存在

正确做法:

检查次数差：斜渐近线要求 $n - d = 1$ ，其他次数差都不存在斜渐近线

错误做法:

错误地认为图像永远不能穿过水平或斜渐近线

原因:

只有垂直渐近线不能被穿过；图像可以在有限 $x$ 处穿过水平/斜渐近线

正确做法:

记住'不能穿过'的规则仅适用于垂直渐近线

错误做法:

当次数相等时，使用常数项的比值求水平渐近线

原因:

应该使用首项系数（最高次项的系数），而非常数项

正确做法:

当 $n = d$ 时，水平渐近线是分子和分母首项系数的比值

6. 速查表

情况（n = 分子次数，d = 分母次数）	垂直渐近线	端点行为渐近线
任意n，约去公共因子后	化简后分母的所有根对应 $x = a$	此处没有端点行为渐近线
$n < d$	同上	水平： $y = 0$
$n = d$	同上	水平： $y = \frac{a _{n}}{b _{d}}$ （首项系数之比）
$n = d + 1$	同上	斜： $y =$ $p (x) \div q (x)$ 的商
$n \geq d + 2$	同上	不存在水平或斜渐近线

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求一个有理函数的所有渐近线
2022 · 2
利用渐近线绘制有理函数图像

深入阅读

video斜渐近线所需的多项式除法复习免费复习核心前置技能

下一步

现在你已经学会识别渐近线和绘制有理函数，接下来可以解决有理方程和不等式相关问题了，这些内容在IB AI HL考试中经常被考查。有理函数也出现在很多应用场景中，包括优化、速率问题和反比例变化，因此理解它们的图像行为对答对应用题至关重要。你在本课程后续学习倒数三角函数和其他非多项式函数时，也会再次用到渐近线的概念。