二次函数：根、顶点与不等式

IB 数学 AI HL· 25 分钟阅读

1. 二次函数的根与判别式★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

二次函数的根

满足 $f (x) = 0$ 的输入值 $x$ ，对应坐标平面上抛物线与x轴的交点。

例:

对于 $f (x) = x^{2} - 4$ ，根为 $x = 2$ 和 $x = - 2$ 。

求根主要有三种方法：因式分解、配方法和二次公式。判别式可以在求解前提前告诉我们二次函数有多少个实根，在考试中可以节省时间。

\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{for } ax^2 + bx + c = 0

若 $Δ > 0$ ：两个不同的实根
若 $Δ = 0$ ：一个重实根（抛物线与x轴相切）
若 $Δ < 0$ ：没有实根

📐 例题

求 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的实根个数，并写出根的值。

1
从标准形式中确定 $a, b, c$ ：
$a = 2, b = -3, c = 1$
2
计算判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 > 0$
3
我们得到两个不同的实根，使用二次公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4}$
4
计算得到最终根为：
$x = 1, \quad x = 0.5$

Exam tip:

如果题目要求根的个数，请务必先计算判别式，如果没有实根可以提前结束计算，节省时间。

2. 求二次抛物线的顶点★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

二次函数的顶点

抛物线的转折点：若 $x^{2}$ 的系数为正，则是最小值点；若系数为负，则是最大值点。顶点位于抛物线的对称轴上。

求顶点坐标常用两种方法：配方法，以及对标准形式使用对称轴公式。对于配方法得到的顶点式 $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ ，顶点直接就是 $(h, k)$ 。

对于标准形式 $a x^{2} + b x + c$ 的二次函数，顶点的x坐标由下式给出：

x = -\frac{b}{2a}

将这个x值代回 $f (x)$ ，即可得到顶点对应的y坐标。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$ 的顶点坐标，并说明它是最小值点还是最大值点。

1
确定 $a = 3$ ， $b = - 12$ ， $c = 5$ ，计算x坐标：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-12)}{2(3)} = 2$
2
将 $x = 2$ 代回 $f (x)$ ，得到y坐标：
$f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 12 - 24 + 5 = -7$
3
判断开口方向： $a = 3 > 0$ ，因此抛物线开口向上。

Exam tip:

几乎所有二次模型的优化问题都需要用顶点求最大值或最小值，所以一定要记住这个公式！

3. 二次不等式：代数法★★★☆☆⏱ 20 min

用代数法求解二次不等式时，请遵循结构化的分步流程，避免常见错误：

整理不等式，将所有项移到一侧，另一侧为 $0$ 。
求出对应二次方程的根。
在根分割出的每个区间内检验二次式的符号。
选出满足原不等式的区间。

📐 例题

用代数法求解不等式 $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ 。

1
不等式已经整理完成，因式分解求根：
$(x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4, x = -2$
2
在根分割出的每个区间内检验乘积的符号：
$x < -2: (-)(-) = + > 0 \\ -2 < x < 4: (-)(+) = - < 0 \\ x > 4: (+)(+) = + > 0$
3
我们需要二次式小于等于0的取值，因此取符号为负的区间，并且包含根（因为不等式是≤）。

4. 二次不等式：图像法★★★☆☆⏱ 15 min

图像法利用抛物线的形状快速确定解集区间，是对代数解法非常好的验证。核心思路很简单：抛物线在x轴上方时二次式为正，在x轴下方时二次式为负。

📐 例题

用图像法求解 $- 2 x^{2} + 4 x + 16 > 0$ 。

1
除以 $- 2$ 化简不等式，注意反转不等号方向：
$x^2 - 2x - 8 < 0$
2
求出根为 $x = - 2$ 和 $x = 4$ 。 $x^{2}$ 的系数为正，因此抛物线开口向上。
3
我们需要二次式小于零，也就是抛物线在x轴下方的区域。对于开口向上的抛物线，这个区域在两个根之间。不等式是严格大于，因此不包含根。

5. 常见陷阱

错误做法:

除以/乘以负数时忘记反转不等号方向

原因:

乘以或除以负数会反转数轴上数值的顺序，因此不等号方向必须改变

正确做法:

当你给不等式两边同时乘以或除以负数时，一定要反转不等号方向

错误做法:

严格不等式（ $<$ 或 $>$ ）中包含根

原因:

严格不等式不允许 $f (x) = 0$ ，因此根不属于解集

正确做法:

严格不等式使用开区间记号（例如 $(- 2, 4)$ ）， $\leq$ 或 $\geq$ 使用闭区间

错误做法:

顶点式中顶点x坐标计算错误

原因:

顶点式为 $a (x - h)^{2} + k$ ，因此 $x + 3 = x - (- 3)$ ，即h为负数

正确做法:

对于 $f (x) = (x + 3)^{2} - 2$ ，顶点是 $(- 3, - 2)$ ，不是 $(3, - 2)$

错误做法:

将 $x^{2} > 9$ 的解写成 $x > \pm 3$

原因:

这种写法错误地包含了 $- 3$ 到 $3$ 之间不满足不等式的值

正确做法:

正确的解集是 $x < - 3$ 或 $x > 3$

错误做法:

求解时将项留在不等式两边不整理

原因:

这会导致符号检验错误，选错区间

正确做法:

一定要先整理，把所有项移到左边，右边为0

6. 速查表

概念	核心规则/公式
$a x^{2} + b x + c = 0$ 的根	$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
判别式规则	$Δ > 0$ ：2个根； $Δ = 0$ ：1个根； $Δ < 0$ ：0个根
顶点（标准形式）	$x = - \frac{b}{2 a}$ ，代回求 $y$
顶点（顶点式）	$a (x - h)^{2} + k \to$ 顶点在 $(h, k)$
$a x^{2} + b x + c > 0$ ， $a > 0$	解集： $x < r_{1}$ 或 $x > r_{2}$
$a x^{2} + b x + c < 0$ ， $a > 0$	解集： $r_{1} < x < r_{2}$
乘以/除以负数	始终反转不等号方向

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求二次函数的根和顶点
2024 · 2
结合二次不等式的优化问题
2023 · 1
求解二次不等式

下一步

二次函数是IB AI HL几乎所有高阶主题的基础。你在这里学到的求根、找转折点和解不等式的技能，会延伸到高次多项式、非线性函数和微积分优化问题中。二次模型也常用于统计学的二次回归，顶点可以给出真实数据的最优值。掌握本小节内容对于试卷1和试卷2考试都至关重要，因为它频繁出现在简答题和扩展回答题中。