# 二次函数：根、顶点与不等式

> IB 数学 AI HL · 第2单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/

本小节探讨二次函数的核心性质，包括求根、计算顶点坐标解决优化问题，以及使用IB AI HL考试中常用的代数法和图像法求解二次不等式。

**先修:** [二次函数的代数运算（展开、因式分解）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-algebra-quadratic-manipulation/); [一元一次不等式求解](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-linear-inequalities/)

## 学习目标

- 利用判别式判断二次函数实根的个数
- 计算顶点坐标，并判断其是最小值点/最大值点
- 使用代数法和图像法求解二次不等式
- 将这些性质应用于问题求解和优化问题

## 二次函数的根与判别式

**二次函数的根** — 满足$f(x) = 0$的输入值$x$，对应坐标平面上抛物线与x轴的交点。

*例:* 对于$f(x) = x^2 - 4$，根为$x = 2$和$x = -2$。

求根主要有三种方法：因式分解、配方法和二次公式。判别式可以在求解前提前告诉我们二次函数有多少个实根，在考试中可以节省时间。

$$\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{for } ax^2 + bx + c = 0$$

- 若$\Delta > 0$：两个不同的实根
- 若$\Delta = 0$：一个重实根（抛物线与x轴相切）
- 若$\Delta < 0$：没有实根

**例题:** 求$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$的实根个数，并写出根的值。

1. 从标准形式中确定$a, b, c$：

   $$a = 2, b = -3, c = 1$$
2. 计算判别式：

   $$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 > 0$$
3. 我们得到两个不同的实根，使用二次公式：

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4}$$
4. 计算得到最终根为：

   $$x = 1, \quad x = 0.5$$

> **考试提示:** 如果题目要求根的个数，请务必先计算判别式，如果没有实根可以提前结束计算，节省时间。

## 求二次抛物线的顶点

**二次函数的顶点** — 抛物线的转折点：若$x^2$的系数为正，则是最小值点；若系数为负，则是最大值点。顶点位于抛物线的对称轴上。

求顶点坐标常用两种方法：配方法，以及对标准形式使用对称轴公式。对于配方法得到的顶点式$f(x) = a(x - h)^2 + k$，顶点直接就是$(h, k)$。

对于标准形式$ax^2 + bx + c$的二次函数，顶点的x坐标由下式给出：

$$x = -\frac{b}{2a}$$

将这个x值代回$f(x)$，即可得到顶点对应的y坐标。

**例题:** 求$f(x) = 3x^2 - 12x + 5$的顶点坐标，并说明它是最小值点还是最大值点。

1. 确定$a = 3$，$b = -12$，$c = 5$，计算x坐标：

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-12)}{2(3)} = 2$$
2. 将$x = 2$代回$f(x)$，得到y坐标：

   $$f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 12 - 24 + 5 = -7$$
3. 判断开口方向：$a = 3 > 0$，因此抛物线开口向上。

*结论:* 顶点坐标为$(2, -7)$，是最小值转折点。

> **考试提示:** 几乎所有二次模型的优化问题都需要用顶点求最大值或最小值，所以一定要记住这个公式！

## 二次不等式：代数法

用代数法求解二次不等式时，请遵循结构化的分步流程，避免常见错误：

1. 整理不等式，将所有项移到一侧，另一侧为$0$。
2. 求出对应二次方程的根。
3. 在根分割出的每个区间内检验二次式的符号。
4. 选出满足原不等式的区间。

**例题:** 用代数法求解不等式$x^2 - 2x - 8 \leq 0$。

1. 不等式已经整理完成，因式分解求根：

   $$(x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4, x = -2$$
2. 在根分割出的每个区间内检验乘积的符号：

   $$x < -2: (-)(-) = + > 0 \\ -2 < x < 4: (-)(+) = - < 0 \\ x > 4: (+)(+) = + > 0$$
3. 我们需要二次式小于等于0的取值，因此取符号为负的区间，并且包含根（因为不等式是≤）。

*结论:* 解集为$-2 \leq x \leq 4$。

## 二次不等式：图像法

图像法利用抛物线的形状快速确定解集区间，是对代数解法非常好的验证。核心思路很简单：抛物线在x轴上方时二次式为正，在x轴下方时二次式为负。

> **tip**
>
> 考试中用代数法求解后，请一定要用图像法验证答案。它能在不到一分钟内找出几乎所有常见错误。

**例题:** 用图像法求解$-2x^2 + 4x + 16 > 0$。

1. 除以$-2$化简不等式，注意反转不等号方向：

   $$x^2 - 2x - 8 < 0$$
2. 求出根为$x = -2$和$x = 4$。$x^2$的系数为正，因此抛物线开口向上。
3. 我们需要二次式小于零，也就是抛物线在x轴下方的区域。对于开口向上的抛物线，这个区域在两个根之间。不等式是严格大于，因此不包含根。

*结论:* 解集为$-2 < x < 4$，与代数法得到的结果一致。

## 常见错误

- **错误做法:** 除以/乘以负数时忘记反转不等号方向
  - 原因: 乘以或除以负数会反转数轴上数值的顺序，因此不等号方向必须改变
  - 正确做法: 当你给不等式两边同时乘以或除以负数时，一定要反转不等号方向
- **错误做法:** 严格不等式（$<$或$>$）中包含根
  - 原因: 严格不等式不允许$f(x) = 0$，因此根不属于解集
  - 正确做法: 严格不等式使用开区间记号（例如$(-2, 4)$），$\leq$或$\geq$使用闭区间
- **错误做法:** 顶点式中顶点x坐标计算错误
  - 原因: 顶点式为$a(x - h)^2 + k$，因此$x + 3 = x - (-3)$，即h为负数
  - 正确做法: 对于$f(x) = (x + 3)^2 - 2$，顶点是$(-3, -2)$，不是$(3, -2)$
- **错误做法:** 将$x^2 > 9$的解写成$x > \pm 3$
  - 原因: 这种写法错误地包含了$-3$到$3$之间不满足不等式的值
  - 正确做法: 正确的解集是$x < -3$或$x > 3$
- **错误做法:** 求解时将项留在不等式两边不整理
  - 原因: 这会导致符号检验错误，选错区间
  - 正确做法: 一定要先整理，把所有项移到左边，右边为0

## 速查表

| 概念 | 核心规则/公式 |
| --- | --- |
| $ax^2 + bx + c = 0$的根 | $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ |
| 判别式规则 | $\Delta > 0$：2个根；$\Delta = 0$：1个根；$\Delta < 0$：0个根 |
| 顶点（标准形式） | $x = -\frac{b}{2a}$，代回求$y$ |
| 顶点（顶点式） | $a(x - h)^2 + k \to$ 顶点在$(h, k)$ |
| $ax^2+bx+c > 0$，$a>0$ | 解集：$x < r_1$或$x > r_2$ |
| $ax^2+bx+c < 0$，$a>0$ | 解集：$r_1 < x < r_2$ |
| 乘以/除以负数 | 始终反转不等号方向 |

## 下一步

二次函数是IB AI HL几乎所有高阶主题的基础。你在这里学到的求根、找转折点和解不等式的技能，会延伸到高次多项式、非线性函数和微积分优化问题中。二次模型也常用于统计学的二次回归，顶点可以给出真实数据的最优值。掌握本小节内容对于试卷1和试卷2考试都至关重要，因为它频繁出现在简答题和扩展回答题中。

- [指数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/