多项式：根、因式定理、余数定理

IB 数学：应用与解释 HL· 25 分钟阅读

1. 多项式的根★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

多项式的根（零点）

多项式 $P (x)$ 的根或零点是满足 $P (a) = 0$ 的取值 $x = a$ 。从图像上看，根对应曲线 $y = P (x)$ 与x轴的交点。

例:

$x = 2$ 是 $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ 的根，因为 $P (2) = 4 - 6 + 2 = 0$

根据代数基本定理，在计重重根和复根的情况下，n次实系数多项式恰好有n个根。对于实系数多项式，复根总是以共轭对形式出现，在IB AI HL中你大多只需要处理实根。

📐 例题

求 $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ 的所有实根

1
根据有理根定理测试小整数值（可能的根是常数项因数除以首项系数因数）：
2
测试 $x = - 1$ ：
$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$
3
确认 $x = - 1$ 是根后，从多项式中分解出 $(x + 1)$ ：
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x^2 - 5x + 6)$
4
分解二次式，然后令每个因式等于零：
$(x+1)(x-2)(x-3) = 0 \implies x=-1, x=2, x=3$
5
三个不同的实根为 $- 1$ ， $2$ ，和 $3$ 。

2. 余数定理★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

余数定理

当多项式 $P (x)$ 除以一次除式 $(x - a)$ 时，余数等于 $P (a)$ 。该定理让我们不需要完成完整的多项式长除法就能求出余数。

例:

当 $P (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 除以 $(x - 1)$ 时，余数为 $P (1) = 1 - 2 + 3 = 2$ ，与长除法的结果一致。

余数定理可以推广到任意一次除式：当除以 $(k x - a)$ 时，余数等于 $P (\frac{a}{k})$ 。

📐 例题

求 $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 9$ 除以 $(2 x - 3)$ 的余数

1
对于除式 $(k x - a)$ ，这里 $k = 2$ ， $a = 3$ ，因此我们计算 $P (\frac{3}{2})$ ：
2
$P\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 7\left(\frac{3}{2}\right) - 9$
3
$= \frac{27}{4} - \frac{45}{4} + \frac{42}{4} - \frac{36}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
4
根据余数定理，余数是 $- 3$ 。

Exam tip:

如果考试题目只要求求余数，一定要用余数定理而不是长除法，每道题可以节省2-3分钟。

3. 因式定理★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

因式定理

因式定理是余数定理的特殊情况：当且仅当 $P (a) = 0$ 时， $(x - a)$ 是多项式 $P (x)$ 的因式。这意味着如果 $a$ 是 $P (x)$ 的根，那么 $(x - a)$ 整除 $P (x)$ ，余数为零。

因式定理是IB AI HL中分解高次多项式（最高4次）的核心工具。一旦你通过测试找到一个根，就可以分解出一次项，将问题简化为求解更低次的多项式，难度大大降低。

📐 例题

已知 $x = 1$ 是 $P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ 的根，完全分解 $P (x)$ 并求出所有根。

1
根据因式定理，因为 $P (1) = 2 (1)^{3} + (1)^{2} - 5 (1) + 2 = 0$ ，所以 $(x - 1)$ 是 $P (x)$ 的因式。
2
使用多项式除法或待定系数法将 $P (x)$ 写成 $(x - 1)$ 乘以二次式：
$2x^3 + x^2 -5x + 2 = (x-1)(2x^2 + 3x - 2)$
3
分解二次式：
$2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$
4
$P (x)$ 的完全分解式为：
$P(x) = (x-1)(2x-1)(x+2)$
5
令每个因式等于零得到所有根：
$x = 1, x = \frac{1}{2}, x = -2$

✓ 快速检测

测试你对因式定理的理解：

如果 $(x + 2)$ 是 $P (x)$ 的因式，下列哪项正确？
- $P (2) = 0$
- $P (- 2) = 0$
- Remainder = 2
- $P (0) = - 2$
显示答案
1 —
记住：当 $P (a) = 0$ 时 $(x - a)$ 是因式。将 $(x + 2)$ 改写为 $(x - (- 2))$ ，因此 $a = - 2$ ，即 $P (- 2) = 0$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

测试根时，对因式 $(x + a)$ 测试 $x = a$ ，而非 $x = - a$

原因:

从一次因式中提取根时很容易弄混符号

正确做法:

将因式改写为 $(x - (- a))$ ，就能清楚看出需要测试的根是 $x = - a$

错误做法:

假设所有n次多项式都有n个不同的实根

原因:

代数基本定理计数的是重根和复根，不只是不同的实根

正确做法:

一定要通过因式的指数检查重根，除非题目明确要求复根，否则只需要写出实根

错误做法:

除以 $(a x + b)$ 时将余数算成 $P (a)$ ，而非 $P (- b / a)$

原因:

人们通常只记住 $(x - a)$ 形式的定理，导致首项系数不为1的除式出错

正确做法:

对于任意一次除式 $k x - a$ ，无论k取何值，余数始终是 $P (a / k)$

错误做法:

题目要求求所有根，却只找到第一个根就停止

原因:

高次多项式有多个根，找到一个并不代表完成题目

正确做法:

找到一个根后，分解出一次项，继续分解剩余多项式来求出所有根

5. 速查表

术语	规则	公式
$P (x)$ 的根	满足 $P (x) = 0$ 的x取值	$P (a) = 0$
余数：除以 $(x - a)$	余数等于 $P (a)$	$Remainder = P (a)$
余数：除以 $(k x - a)$	余数等于 $P (a / k)$	$Remainder = P (\frac{a}{k})$
因式定理	当且仅当 $P (a) = 0$ 时， $(x - a)$ 是因式	$(x - a) ∣ P (x) ⟺ P (a) = 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求出三次多项式的所有根
2023 · 2
已知一个根，分解四次多项式

下一步

现在你已经掌握了如何使用余数定理和因式定理求多项式的根，你可以将这些技能应用到多项式函数的更高级主题中，包括绘制多项式图像、求解多项式不等式，以及用高次多项式对实际现象建模。这些工具是所有多项式函数相关内容的基础，你在IB AI HL课程后续的微积分和统计建模主题中会经常用到它们。掌握这些定理能大幅加快你解答Paper 1和Paper 2中多项式题目的速度，因此坚持练习快速求根会在最终考试中获得回报。