# 函数

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-overview/
> 占比: 占考试总分的20-25%

本单元涵盖IB AI HL所有核心函数类型的基础定义、性质、代数运算、绘图以及现实世界建模，是大纲中几乎所有其他主题的基础。

**先修:** [基础代数、指数与坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-overview/)

## 学习目标

- 识别并分类IB AI HL考试中所有核心函数类型
- 计算任意函数的关键性质（定义域、值域、根、对称性）
- 对函数进行代数运算，包括复合函数、反函数和图像变换
- 使用代数法和图像法求解函数相关的方程与不等式
- 选择并使用合适的函数对现实世界现象建模

## 单元概览

我们从函数的核心定义以及适用于所有函数类型的关键性质开始，逐步讲解核心代数运算和图像变换。随后我们详细探讨每个主要函数族（二次、指数、正弦），最后讲解方程求解以及函数在现实建模任务中的应用。这个学习顺序从基础规则到应用技能，与IB考试的题目结构一致。

以下是本单元你将学习的所有子主题：
- [函数概念：定义域、值域、图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-concept-of-functions-domain-range/) — 学习函数的正式定义，掌握如何计算定义域和值域，以及解读函数图像。
- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-composition-of-functions-and-inverse/) — 理解如何合并多个函数，以及通过逆运算求反函数。
- [图像变换](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-transformations-of-graphs/) — 学习平移、拉伸和反射如何变换任意函数的图像。
- [二次函数：根、顶点、不等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/) — 探究二次函数的关键性质，掌握求根和顶点的方法，并求解二次不等式。
- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/) — 探究指数函数与对数函数的互逆关系及其性质。
- [正弦函数及其应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-sinusoidal-functions-and-applications/) — 学习如何用正弦函数对周期现象建模，并解决现实应用问题。
- [解方程：代数法与图像法](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-solving-equations-algebraic-and-graphical/) — 比较并运用代数和图像方法求解各类函数方程。
- [奇函数与偶函数，对称性](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-odd-and-even-functions-symmetry/) — 识别奇函数和偶函数的对称性质，并运用它们简化函数分析。
- [反函数：代数求解](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-inverse-functions-algebraic-solution/) — 练习使用高级代数方法求常见函数类型的反函数。
- [函数建模](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u2-modelling-with-functions/) — 学习如何选择、拟合和验证函数，对现实数据和场景建模。

## 常见错误

- **错误做法:** 求反函数时忘记限制定义域
  - 原因: 大多数函数在整个定义域上不是一一对应的，因此反函数仅在受限定义域上有效
  - 正确做法: 计算反函数前，务必确认原函数在给定定义域上是一一对应的
- **错误做法:** 混淆水平变换和垂直变换的规则
  - 原因: 水平变换与垂直变换相比不符合直觉，容易导致符号错误
  - 正确做法: 记住：$f(x - a)$ 向右平移$a$单位，而 $f(x) + a$ 向上平移$a$单位

## 速查表

| 概念 | 核心公式/规则 |
| --- | --- |
| 函数定义 | 函数将定义域中的每个输入恰好映射到值域中的一个输出 |
| 反函数性质 | $f^{-1}(f(x)) = x$, $f(f^{-1}(x)) = x$, 图像关于 $y=x$ 对称 |
| 二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的顶点 | $x = -\frac{b}{2a}$, $y = f(-\frac{b}{2a})$ |
| 指数对数恒等式 | $\log_a(a^x) = x$, $a^{\log_a x} = x$ |
| 一般正弦函数 | $f(x) = a\sin(b(x - c)) + d$, 振幅 $\|a\|$, 周期 $\frac{2\pi}{\|b\|}$ |
| 奇偶函数规则 | 偶函数：$f(-x) = f(x)$, 关于y轴对称；奇函数：$f(-x) = -f(x)$, 关于原点对称 |

## 下一步

你可以从第一个子主题开始学习本单元，内容涵盖函数核心概念、定义域和值域。完成本单元所有子主题后，你可以进入下一单元「数列与级数」的学习，该单元直接建立在你在这里学到的核心函数概念之上。

- [函数概念：定义域、值域、图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-concept-of-functions-domain-range/)
- [数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-overview/)
- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-composition-of-functions-and-inverse/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-overview/