反函数：代数解法

IB 数学：应用与解释 HL· 2.11 反函数· 5 分钟阅读

1. 反函数的核心定义与验证★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

反函数

$f^{- 1} (x)$

对于定义域为 $D$ 、值域为 $R$ 的一一对应函数 $f$ ，反函数 $f^{- 1}$ 的定义域为 $R$ 、值域为 $D$ ，且对所有 $x \in R$ 满足 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，对所有 $x \in D$ 满足 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 。

例:

如果 $f (x) = 2 x + 3$ ，那么 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$

只有一一对应函数（通过水平线测试的函数）存在反函数。若函数在整个定义域上不是一一对应，我们会先限制定义域使其成为一一对应函数，再计算反函数。

📐 例题

验证 $f (x) = 4 x - 5$ 和 $g (x) = \frac{x + 5}{4}$ 互为反函数。

1
首先将 $g (x)$ 代入 $f$ ，验证复合函数 $f (g (x))$ ：
$f(g(x)) = f\left(\frac{x+5}{4}\right) = 4\left(\frac{x+5}{4}\right) - 5 = (x+5) - 5 = x$
2
接着将 $f (x)$ 代入 $g$ ，验证反向复合函数 $g (f (x))$ ：
$g(f(x)) = g(4x - 5) = \frac{(4x - 5) + 5}{4} = \frac{4x}{4} = x$
3
由于两个复合函数都化简为 $x$ ，因此这两个函数符合反函数的定义。

2. 求反函数的分步代数方法★★★☆☆⏱ 20 min

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从 $y = f (x)$ 开始，记录原函数的定义域和值域
交换 $x$ 和 $y$ 的位置（这相当于沿 $y = x$ 对称）
整理方程，用 $x$ 表示 $y$
将 $y$ 替换为 $f^{- 1} (x)$
写出 $f^{- 1} (x)$ 的定义域，它等于原函数 $f (x)$ 的值域

📐 例题

求 $x \geq - 3$ 时 $f (x) = 2 x + 3$ 的反函数。

1
令 $y = f (x)$ ：
$y = 2\sqrt{x + 3}, \quad x \geq -3$
2
交换 $x$ 和 $y$ 得到反函数关系：
$x = 2\sqrt{y + 3}$
3
求解 $y$ ：先除以 2 再对两边平方：
$\frac{x}{2} = \sqrt{y + 3} \implies \left(\frac{x}{2}\right)^2 = y + 3$
4
分离出 $y$ ：
$y = \frac{x^2}{4} - 3$
5
原函数 $f (x)$ 的值域为 $y \geq 0$ ，因此反函数的定义域为 $x \geq 0$ ：
$f^{-1}(x) = \frac{x^2}{4} - 3, \quad x \geq 0$

Exam tip:

阅卷人几乎总是会为正确写出反函数定义域单独给分——绝对不要跳过这一步。

3. 受限定义域二次函数的反函数★★★★☆HL 专属⏱ 20 min

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二次函数在整个定义域上不是一一对应，因此我们总是会将原定义域限制在顶点的一侧使其存在反函数。原定义域的限制条件会告诉我们求解反函数时应该选择哪个根。

📐 例题

求 $x \geq 2$ 时 $f (x) = (x - 2)^{2} - 4$ 的反函数。

1
令 $y = f (x)$ ：
$y = (x - 2)^2 - 4, \quad x \geq 2$
2
交换 $x$ 和 $y$ ：
$x = (y - 2)^2 - 4$
3
整理方程分离出平方项：
$x + 4 = (y - 2)^2$
4
对两边开平方，保留绝对值：
$\sqrt{x + 4} = |y - 2|$
5
原函数定义域 $x \geq 2$ 意味着反函数的值域为 $y \geq 2$ ，因此 $y - 2$ 非负：
$\sqrt{x + 4} = y - 2$
6
原函数 $f (x)$ 的值域为 $y \geq - 4$ ，因此反函数的定义域为 $x \geq - 4$ ：
$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} + 2, \quad x \geq -4$

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记写出反函数的定义域

原因:

阅卷人要求写出定义域以确认你理解反函数定义域等于原函数值域，跳过这一步会丢失送分题的分数

正确做法:

求出代数表达式后，一定要写出 $f^{- 1} (x)$ 的定义域

错误做法:

将 $f^{- 1} (x)$ 误解为 $\frac{1}{f ( x )}$

原因:

反函数符号中的指数 $- 1$ 不表示倒数 —— 这是初学者常见的错误

正确做法:

记住 $f^{- 1} (x)$ 是抵消 $f (x)$ 作用的函数，不是倒数

错误做法:

求解二次函数反函数时同时保留正根和负根

原因:

一个函数对每个输入只能有一个输出，因此两个根无法构成有效函数

正确做法:

利用原函数的定义域限制，只为反函数选择一个有效根

错误做法:

在解出 $y$ 之后才交换变量，而非在求解前交换

原因:

这会导致反函数用错误的变量表示，最终结果错误

正确做法:

写出 $y = f (x)$ 后一定要立刻交换 $x$ 和 $y$

5. 速查表

步骤	操作	考试注意事项
1	从 $y = f (x)$ 开始	写出原函数定义域/值域
2	交换 $x$ 和 $y$	关于 $y = x$ 对称
3	求解 $y$	二次函数选择一个根
4	写出 $f^{- 1} (x) = y$	令定义域等于原函数值域
5	验证（可选）	检查 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 确认结果

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求一次函数的反函数
2023 · 1
受限定义域二次函数的反函数

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IB SyllabusIB AI HL 大纲主题 2官方大纲参考

下一步

现在你已经掌握了代数法求反函数，接下来可以将这个知识拓展到反函数的图像表示，以及指数与对数反函数对这类核心应用——这些内容在IB AI HL考试中占比很高。反函数是单元2及后续很多主题的基础，包括求解复合函数方程，以及对实际场景中的反比关系建模。掌握代数求反函数还能帮助你在考试中快速识别反函数对，为你在试卷1和试卷2中节省宝贵时间。