# 反函数：代数解法

> IB 数学：应用与解释 HL · 单元 2：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-inverse-functions-algebraic-solution/

本模块针对IB AI HL考试，讲解如何使用代数方法求一一对应函数的反函数，通过复合验证反函数对，以及调整定义域和值域满足反函数要求。

**先修:** [函数符号与复合](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-function-composition/); [函数的定义域和值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-domain-range/)

## 学习目标

- 定义反函数并识别其核心性质
- 运用分步代数方法求一一对应函数的反函数
- 使用函数复合验证反函数对
- 正确表述反函数的定义域和值域

## 反函数的核心定义与验证

**反函数** — 对于定义域为$D$、值域为$R$的一一对应函数$f$，反函数$f^{-1}$的定义域为$R$、值域为$D$，且对所有$x \in R$满足$f(f^{-1}(x)) = x$，对所有$x \in D$满足$f^{-1}(f(x)) = x$。

*记法:* $f^{-1}(x)$

*例:* 如果 $f(x) = 2x + 3$，那么 $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$

只有一一对应函数（通过水平线测试的函数）存在反函数。若函数在整个定义域上不是一一对应，我们会先限制定义域使其成为一一对应函数，再计算反函数。

**例题:** 验证 $f(x) = 4x - 5$ 和 $g(x) = \frac{x + 5}{4}$ 互为反函数。

1. 首先将$g(x)$代入$f$，验证复合函数$f(g(x))$：

   $$f(g(x)) = f\left(\frac{x+5}{4}\right) = 4\left(\frac{x+5}{4}\right) - 5 = (x+5) - 5 = x$$
2. 接着将$f(x)$代入$g$，验证反向复合函数$g(f(x))$：

   $$g(f(x)) = g(4x - 5) = \frac{(4x - 5) + 5}{4} = \frac{4x}{4} = x$$
3. 由于两个复合函数都化简为$x$，因此这两个函数符合反函数的定义。

*计算器:* forbidden

## 求反函数的分步代数方法

1. 从 $y = f(x)$ 开始，记录原函数的定义域和值域
2. 交换 $x$ 和 $y$ 的位置（这相当于沿 $y=x$ 对称）
3. 整理方程，用 $x$ 表示 $y$
4. 将 $y$ 替换为 $f^{-1}(x)$
5. 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域，它等于原函数 $f(x)$ 的值域

**例题:** 求 $x \geq -3$ 时 $f(x) = 2\sqrt{x + 3}$ 的反函数。

1. 令 $y = f(x)$：

   $$y = 2\sqrt{x + 3}, \quad x \geq -3$$
2. 交换 $x$ 和 $y$ 得到反函数关系：

   $$x = 2\sqrt{y + 3}$$
3. 求解 $y$：先除以 2 再对两边平方：

   $$\frac{x}{2} = \sqrt{y + 3} \implies \left(\frac{x}{2}\right)^2 = y + 3$$
4. 分离出 $y$：

   $$y = \frac{x^2}{4} - 3$$
5. 原函数 $f(x)$ 的值域为 $y \geq 0$，因此反函数的定义域为 $x \geq 0$：

   $$f^{-1}(x) = \frac{x^2}{4} - 3, \quad x \geq 0$$

> **考试提示:** 阅卷人几乎总是会为正确写出反函数定义域单独给分——绝对不要跳过这一步。

*计算器:* forbidden

## 受限定义域二次函数的反函数

二次函数在整个定义域上不是一一对应，因此我们总是会将原定义域限制在顶点的一侧使其存在反函数。原定义域的限制条件会告诉我们求解反函数时应该选择哪个根。

**例题:** 求 $x \geq 2$ 时 $f(x) = (x - 2)^2 - 4$ 的反函数。

1. 令 $y = f(x)$：

   $$y = (x - 2)^2 - 4, \quad x \geq 2$$
2. 交换 $x$ 和 $y$：

   $$x = (y - 2)^2 - 4$$
3. 整理方程分离出平方项：

   $$x + 4 = (y - 2)^2$$
4. 对两边开平方，保留绝对值：

   $$\sqrt{x + 4} = |y - 2|$$
5. 原函数定义域 $x \geq 2$ 意味着反函数的值域为 $y \geq 2$，因此 $y-2$ 非负：

   $$\sqrt{x + 4} = y - 2$$
6. 原函数 $f(x)$ 的值域为 $y \geq -4$，因此反函数的定义域为 $x \geq -4$：

   $$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} + 2, \quad x \geq -4$$

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记写出反函数的定义域
  - 原因: 阅卷人要求写出定义域以确认你理解反函数定义域等于原函数值域，跳过这一步会丢失送分题的分数
  - 正确做法: 求出代数表达式后，一定要写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域
- **错误做法:** 将 $f^{-1}(x)$ 误解为 $\frac{1}{f(x)}$
  - 原因: 反函数符号中的指数 $-1$ 不表示倒数 —— 这是初学者常见的错误
  - 正确做法: 记住 $f^{-1}(x)$ 是抵消 $f(x)$ 作用的函数，不是倒数
- **错误做法:** 求解二次函数反函数时同时保留正根和负根
  - 原因: 一个函数对每个输入只能有一个输出，因此两个根无法构成有效函数
  - 正确做法: 利用原函数的定义域限制，只为反函数选择一个有效根
- **错误做法:** 在解出 $y$ 之后才交换变量，而非在求解前交换
  - 原因: 这会导致反函数用错误的变量表示，最终结果错误
  - 正确做法: 写出 $y = f(x)$ 后一定要立刻交换 $x$ 和 $y$

## 速查表

| 步骤 | 操作 | 考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 从 $y = f(x)$ 开始 | 写出原函数定义域/值域 |
| 2 | 交换 $x$ 和 $y$ | 关于 $y=x$ 对称 |
| 3 | 求解 $y$ | 二次函数选择一个根 |
| 4 | 写出 $f^{-1}(x) = y$ | 令定义域等于原函数值域 |
| 5 | 验证（可选） | 检查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 确认结果 |

## 下一步

现在你已经掌握了代数法求反函数，接下来可以将这个知识拓展到反函数的图像表示，以及指数与对数反函数对这类核心应用——这些内容在IB AI HL考试中占比很高。反函数是单元2及后续很多主题的基础，包括求解复合函数方程，以及对实际场景中的反比关系建模。掌握代数求反函数还能帮助你在考试中快速识别反函数对，为你在试卷1和试卷2中节省宝贵时间。

- [函数建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-modelling-with-functions/)
- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-overview/)
- [二维与三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-2d-and-3d-coordinate-geometry/)

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