# 函数概念：定义域、值域、图像

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-concept-of-functions-domain-range/

这个基础子主题介绍函数的核心定义，它是IB AI HL中所有微积分、建模和统计学的基础。你将学习如何识别有效函数，计算定义域和值域，以及解读关键图像特征。

**先修:** 多项式和根式的基本代数运算; 不等式的集合与区间表示法

## 学习目标

- 利用定义和竖线测试区分函数与一般关系
- 考虑常见限制条件，确定函数的定义域
- 计算并表示常见函数类型的值域
- 根据方程和图像解读函数图像的关键特征

## 函数的定义

**函数** — 一种将有效输入集合中的每个输入映射到恰好一个输出的关系。多个输入可以映射到同一个输出，但一个输入永远不能映射到多个输出。

*记法:* f(x)

*例:* $f(x) = 3x - 2$是函数，$x = y^2$不是所有实数$x$上的函数。

要快速判断一个图像是否代表函数，我们使用**竖线测试**：如果任意竖线与图像相交超过一次，那么这个关系不是函数。

**例题:** 利用竖线测试判断$x^2 + y^2 = 9$（圆心在原点、半径为3的圆）是否为函数。

1. 整理方程求解$y$：
2. $$y^2 = 9 - x^2 \implies y = \pm\sqrt{9 - x^2}$$
3. 对任意介于$-3$和$3$之间的$x$，同一个输入$x$对应两个不同的$y$值。
4. 当我们在这个区间内画任意竖线时，它会与圆相交两次，违反了函数的定义。
5. 结论：这个圆不是函数。

> **考试提示:** 只有一对一函数通过水平线测试，所有函数都必须通过竖线测试。考试中不要混淆这两个测试！

## 定义域与值域

**定义域与值域** — 定义域：函数有定义的所有有效输入$x$值。值域：函数能产生的所有可能输出$f(x)$值。

*例:* $f(x) = \frac{1}{x}$的定义域是除$0$以外的所有实数；值域也是除$0$以外的所有实数。

最常见的定义域限制来自三条规则：(1) 不能除以零，(2) 不能对负数开平方，(3) 不能对非正数取对数。求定义域时一定要先检查这三点。

**例题:** 求$f(x) = \sqrt{6 - 2x}$的定义域和值域，用区间表示法写出你的答案。

1. 先求定义域：根号下的表达式必须非负：
2. $$6 - 2x \geq 0 \implies 2x \leq 6 \implies x \leq 3$$
3. 用区间表示法写出定义域，包含端点因为$x=3$得到$\sqrt{0} = 0$，这是有效的：
4. 定义域 = $(-\infty, 3]$
5. 求值域：主平方根函数只输出非负值。当$x$减小时，$\sqrt{6-2x}$从0增大到无穷大：
6. Range = $[0, \infty)$

> **info**
>
> 只要你的答案清晰正确，IB考试接受区间表示法和集合表示法两种写法表示定义域和值域。

## 函数图像的关键特征

函数$f(x)$的图像是坐标平面上所有点$(x, f(x))$的集合。考试中，你需要能从方程或图像中识别以下关键特征：x截距（根，即$f(x)=0$处）、y截距（即$x=0$处）、转折点、水平/垂直渐近线，以及增/减区间。

**例题:** 对于$f(x) = (x+1)(x-4)$，求x截距、y截距，并写出函数的值域。

1. 在$f(x) = 0$处求x截距：
2. $$(x+1)(x-4) = 0 \implies x = -1, x = 4$$
3. X截距位于$(-1, 0)$和$(4, 0)$。
4. 在$x=0$处求y截距：
5. $$f(0) = (0+1)(0-4) = -4$$
6. Y截距位于$(0, -4)$。
7. 这是一个首项系数为正的二次函数，开口向上，最小值在顶点处。顶点在$x = 1.5$，$f(1.5) = -6.25$，因此值域为：
8. $$[-6.25, \infty)$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\sqrt{x-4}$的定义域写为$(4, \infty)$而非$[4, \infty)$。
  - 原因: 忘记$x=4$对应的输出是0，这完全有效。
  - 正确做法: 当限制不等式是非严格不等式（$\geq$或$\leq$）时，一定要包含端点。
- **错误做法:** 因为水平线与关系相交两次就断言它不是函数。
  - 原因: 混淆了竖线测试（判断是否为函数）和水平线测试（判断是否为一对一函数）。
  - 正确做法: 只有竖线测试能判断关系是否为函数，和水平线无关。
- **错误做法:** 在有理函数的定义域中包含使分母为零的$x$值。
  - 原因: 忘记除以零是无定义的，因此函数在该点不存在。
  - 正确做法: 无论其他因素如何，一定要排除所有使任意分母等于零的$x$。
- **错误做法:** 当定义域给定为$0 \leq x \leq 3$时，将$f(x) = x^2 + 2$的值域写为$[2, 10]$。
  - 原因: 忘记首项系数为正的二次函数在闭区间上的最大值出现在其中一个端点处。
  - 正确做法: 求受限二次函数的值域时，要检查函数在定义域区间两个端点处的值。
- **错误做法:** 将$f(x) = \sqrt{x-4}$的值域写为$(-\infty, \infty)$，和定义域的形式保持一致。
  - 原因: 混淆了定义域和值域，忘记主平方根只产生非负输出。
  - 正确做法: 一定要分别计算定义域和值域，不要假设它们相同。

## 速查表

| 函数类型 | 常见定义域限制 | 典型值域 |
| --- | --- | --- |
| 一次函数 $f(x) = mx + c$ | 无 | $(-\infty, \infty)$ |
| 二次函数 $f(x) = ax^2+bx+c, a>0$ | 无 | $[\text{min}(f), \infty)$ |
| 有理函数 $f(x) = 1/g(x)$ | 排除 $x: g(x) = 0$ | Depends on $g(x)$ |
| 平方根函数 $f(x) = \sqrt{g(x)}$ | Require $g(x) \geq 0$ | $[0, \infty)$ |
| 对数函数 $f(x) = \log(g(x))$ | Require $g(x) > 0$ | $(-\infty, \infty)$ |

## 下一步

你在这里学到的概念是IB AI HL所有函数内容的基础，出现在从微积分到统计建模的每个主题中。尽早掌握定义域、值域和函数定义，能帮你避免每个涉及函数的考试题目中可避免的错误。接下来，你将在此基础上学习复合函数和反函数，然后了解用于建模的特定函数类型，再将这些概念应用到微分和积分中。扎实理解这里的内容对高阶主题的学习至关重要。

- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-composition-of-functions-and-inverse/)
- [图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-transformations-of-graphs/)
- [二次函数：根、顶点与不等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/)

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