复合函数与反函数

IB 数学：应用与解释 HL· Unit 2: Functions, Topic 2.2· 25 分钟阅读

1. 复合函数★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

复合函数

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$

由内层函数 $g$ 的输出作为外层函数 $f$ 的输入构造得到的函数，读作"f of g of x"。

例:

如果 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x + 1$ ，则 $(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2}$

复合的顺序很重要： $f \circ g$ 几乎永远不等于 $g \circ f$ 。 $f \circ g$ 的定义域是所有满足 $g (x)$ 也在 $f$ 定义域中的、属于 $g$ 定义域的 $x$ 。

📐 例题

已知 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - 5$ ，求 $(f \circ g) (x)$ 并写出其定义域。

1
1. 将 $g (x)$ 代入 $f$ ，得到复合表达式：
2
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 5) = \sqrt{(x^2 - 5) - 2} = \sqrt{x^2 - 7}$
3
1. 求定义域限制： $g (x)$ 对所有实数 $x$ 都有定义，因此我们只需要要求根号下的表达式非负：
4
$x^2 - 7 \geq 0 \implies x^2 \geq 7 \implies x \leq -\sqrt{7} \text{ or } x \geq \sqrt{7}$
5
1. 用区间记号表示的最终定义域： $(- \infty, - 7] \cup [7, \infty)$

Exam tip:

计算复合函数定义域时，一定要同时检查内层函数和外层函数的定义域限制。

2. 一一对应函数与反函数★★★☆☆⏱ 8 min

📘 定义

反函数

$f^{- 1} (x)$

反转一一对应函数 $f$ 映射关系的函数，满足对所有 $f$ 定义域内的 $x$ 有 $f^{- 1} (f (x)) = x$ ，对所有 $f^{- 1}$ 定义域内的 $x$ 有 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 。只有一一对应函数存在反函数。

例:

如果 $f (x) = 2 x + 4$ ，则 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{2}$

如果函数通过水平线测试，它就是一一对应函数：没有任何水平线与它的图像相交超过一次。如果函数在其自然定义域上不是一一对应，你可以限制定义域得到一个一一对应函数，从而存在反函数。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x - 6$ 的反函数并验证其正确性。

1
1. 将 $f (x)$ 替换为 $y$ ：
2
$y = 3x - 6$
3
1. 交换 $x$ 和 $y$ ，这是求反函数的必要步骤：
4
$x = 3y - 6$
5
1. 解出 $y$ ：
6
$x + 6 = 3y \implies y = \frac{x + 6}{3} = \frac{1}{3}x + 2$
7
1. 将 $y$ 替换为 $f^{- 1} (x)$ ：
8
$f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x + 2$
9
1. 通过验证 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 确认正确性：
10
$f\left(\frac{1}{3}x + 2\right) = 3\left(\frac{1}{3}x + 2\right) - 6 = x + 6 - 6 = x$
11
反函数的正确性得到验证。

3. 反函数的图像性质★★☆☆☆⏱ 5 min

反函数最重要的图像性质是反射法则： $y = f^{- 1} (x)$ 的图像是 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。这直接来源于求反函数时交换 $x$ 和 $y$ 的步骤。

这个反射法则也给出了一个有用的定义域/值域关系：原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

📐 例题

函数 $f (x) = (x - 2)^{2}$ 被限制在定义域 $x \geq 2$ ，值域 $y \geq 0$ ，求 $f^{- 1} (x)$ 的定义域和值域。

1
1. 使用反函数的定义域/值域交换法则：
2
$f^{- 1} (x)$ 的定义域 = $f (x)$ 的值域 = $[0, \infty)$
3
$f^{- 1} (x)$ 的值域 = $f (x)$ 的定义域 = $[2, \infty)$
4
从图像上看，反函数是被限制定义域的抛物线关于 $y = x$ 的对称图形，与该结果一致。

4. 实际背景中的复合函数与反函数★★★☆☆⏱ 4 min

在IB AI HL考试中，你经常会在实际背景中遇到这些概念。复合结合两个连续的关系，而反函数反转关系，从给定输出求出对应输入。

📐 例题

摄氏温度转华氏温度的公式为 $F (C) = \frac{9}{5} C + 32$ ，求将华氏温度转回摄氏温度的反函数，然后计算77°F对应的摄氏温度。

1
1. 写出原函数，交换 $F$ 和 $C$ ：
2
$F = \frac{9}{5}C + 32 \implies C = \frac{9}{5}F^{-1}(C) + 32$
3
1. 解出反函数 $F^{- 1} (C)$ ：
4
$C - 32 = \frac{9}{5}F^{-1}(C) \implies F^{-1}(C) = \frac{5}{9}(C - 32)$
5
1. 将77°F代入反函数：
6
$F^{-1}(77) = \frac{5}{9}(77 - 32) = \frac{5}{9}(45) = 25^\circ C$

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $(f \circ g) (x)$ 误认作 $f (x) \times g (x)$

原因:

表示复合的空心圆记号不是乘号

正确做法:

记住 $(f \circ g) (x)$ 表示将 $g (x)$ 作为输入代入 $f (x)$ ，即 $f (g (x))$

错误做法:

将 $f^{- 1} (x)$ 误认作倒数 $\frac{1}{f ( x )}$

原因:

反函数的负指数记号不遵循通常的倒数法则

正确做法:

$f^{- 1} (x)$ 始终指反转 $f (x)$ 映射的反函数，绝不是倒数

错误做法:

仅检查复合函数中外层函数的定义域限制

原因:

内层函数可能已经排除了对外层函数有效的输入

正确做法:

先求内层函数的定义域，再应用外层函数带来的额外限制

错误做法:

不对定义域做限制就求多对一函数的反函数

原因:

多对一函数不通过水平线测试，因此在整个定义域上不存在有效的反函数

正确做法:

求反函数前，先将原函数的定义域限制到它是一一对应的区间

6. 速查表

概念	核心法则	记号
先 $g$ 后 $f$ 的复合	将 $g (x)$ 代入 $f (x)$	$(f \circ g) (x) = f (g (x))$
$f \circ g$ 的定义域	$x$ 属于 $g$ 的定义域，且 $g (x)$ 属于 $f$ 的定义域
反函数	反转一一对应函数 $f$ 的映射	$f^{- 1} (x) \neq = \frac{1}{f ( x )}$
反函数验证	$f (f^{- 1} (x)) = x$ and $f^{- 1} (f (x)) = x$
反函数图像	$y = f (x)$ 关于 $y = x$ 的对称图形
定义域/值域交换	$f$ 的定义域 = $f^{- 1}$ 的值域

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

复合函数与反函数是IB AI HL中几乎所有后续函数主题的基础。函数变换可以描述为原函数与线性平移缩放函数的复合。指数函数与对数函数互为反函数，因此理解它们的反函数关系是解这些函数方程的关键。在统计学中，反函数用于计算临界值和逆正态概率，这是一个核心考试考点。