# 复合函数与反函数

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-composition-of-functions-and-inverse/

本模块讲解如何通过复合组合函数，判断函数何时存在反函数，通过代数和图像方法求反函数，并解决IB AI HL考试中涉及这些核心函数概念的问题。

**先修:** [函数符号、定义域与值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-function-basics/); [一一对应函数的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-properties-of-functions/)

## 学习目标

- 复合两个或多个函数，并求出得到的复合函数的定义域
- 识别一一对应函数，并通过代数方法求一一对应函数的反函数
- 验证反函数对，并描述函数与其反函数之间的图像关系
- 应用复合与反函数解决实际背景问题

## 复合函数

**复合函数** — 由内层函数$g$的输出作为外层函数$f$的输入构造得到的函数，读作"f of g of x"。

*记法:* $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

*例:* 如果$f(x)=x^2$，$g(x)=x+1$，则$(f \circ g)(x)=(x+1)^2$

复合的顺序很重要：$f \circ g$几乎永远不等于$g \circ f$。$f \circ g$的定义域是所有满足$g(x)$也在$f$定义域中的、属于$g$定义域的$x$。

**例题:** 已知$f(x) = \sqrt{x-2}$，$g(x) = x^2 - 5$，求$(f \circ g)(x)$并写出其定义域。

1. 1. 将$g(x)$代入$f$，得到复合表达式：
2. $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 5) = \sqrt{(x^2 - 5) - 2} = \sqrt{x^2 - 7}$$
3. 2. 求定义域限制：$g(x)$对所有实数$x$都有定义，因此我们只需要要求根号下的表达式非负：
4. $$x^2 - 7 \geq 0 \implies x^2 \geq 7 \implies x \leq -\sqrt{7} \text{ or } x \geq \sqrt{7}$$
5. 3. 用区间记号表示的最终定义域：$(-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

> **考试提示:** 计算复合函数定义域时，一定要同时检查内层函数和外层函数的定义域限制。

## 一一对应函数与反函数

**反函数** — 反转一一对应函数$f$映射关系的函数，满足对所有$f$定义域内的$x$有$f^{-1}(f(x))=x$，对所有$f^{-1}$定义域内的$x$有$f(f^{-1}(x))=x$。只有一一对应函数存在反函数。

*记法:* $f^{-1}(x)$

*例:* 如果$f(x)=2x+4$，则$f^{-1}(x)=\frac{x-4}{2}$

如果函数通过水平线测试，它就是一一对应函数：没有任何水平线与它的图像相交超过一次。如果函数在其自然定义域上不是一一对应，你可以限制定义域得到一个一一对应函数，从而存在反函数。

**例题:** 求$f(x) = 3x - 6$的反函数并验证其正确性。

1. 1. 将$f(x)$替换为$y$：
2. $$y = 3x - 6$$
3. 2. 交换$x$和$y$，这是求反函数的必要步骤：
4. $$x = 3y - 6$$
5. 3. 解出$y$：
6. $$x + 6 = 3y \implies y = \frac{x + 6}{3} = \frac{1}{3}x + 2$$
7. 4. 将$y$替换为$f^{-1}(x)$：
8. $$f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x + 2$$
9. 5. 通过验证$f(f^{-1}(x))=x$确认正确性：
10. $$f\left(\frac{1}{3}x + 2\right) = 3\left(\frac{1}{3}x + 2\right) - 6 = x + 6 - 6 = x$$
11. 反函数的正确性得到验证。

## 反函数的图像性质

反函数最重要的图像性质是反射法则：$y=f^{-1}(x)$的图像是$y=f(x)$的图像关于直线$y=x$的对称图形。这直接来源于求反函数时交换$x$和$y$的步骤。

这个反射法则也给出了一个有用的定义域/值域关系：原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

**例题:** 函数$f(x) = (x-2)^2$被限制在定义域$x \geq 2$，值域$y \geq 0$，求$f^{-1}(x)$的定义域和值域。

1. 1. 使用反函数的定义域/值域交换法则：
2. $f^{-1}(x)$的定义域 = $f(x)$的值域 = $[0, \infty)$
3. $f^{-1}(x)$的值域 = $f(x)$的定义域 = $[2, \infty)$
4. 从图像上看，反函数是被限制定义域的抛物线关于$y=x$的对称图形，与该结果一致。

## 实际背景中的复合函数与反函数

在IB AI HL考试中，你经常会在实际背景中遇到这些概念。复合结合两个连续的关系，而反函数反转关系，从给定输出求出对应输入。

**例题:** 摄氏温度转华氏温度的公式为$F(C) = \frac{9}{5}C + 32$，求将华氏温度转回摄氏温度的反函数，然后计算77°F对应的摄氏温度。

1. 1. 写出原函数，交换$F$和$C$：
2. $$F = \frac{9}{5}C + 32 \implies C = \frac{9}{5}F^{-1}(C) + 32$$
3. 2. 解出反函数$F^{-1}(C)$：
4. $$C - 32 = \frac{9}{5}F^{-1}(C) \implies F^{-1}(C) = \frac{5}{9}(C - 32)$$
5. 3. 将77°F代入反函数：
6. $$F^{-1}(77) = \frac{5}{9}(77 - 32) = \frac{5}{9}(45) = 25^\circ C$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将$(f \circ g)(x)$误认作$f(x) \times g(x)$
  - 原因: 表示复合的空心圆记号不是乘号
  - 正确做法: 记住$(f \circ g)(x)$表示将$g(x)$作为输入代入$f(x)$，即$f(g(x))$
- **错误做法:** 将$f^{-1}(x)$误认作倒数$\frac{1}{f(x)}$
  - 原因: 反函数的负指数记号不遵循通常的倒数法则
  - 正确做法: $f^{-1}(x)$始终指反转$f(x)$映射的反函数，绝不是倒数
- **错误做法:** 仅检查复合函数中外层函数的定义域限制
  - 原因: 内层函数可能已经排除了对外层函数有效的输入
  - 正确做法: 先求内层函数的定义域，再应用外层函数带来的额外限制
- **错误做法:** 不对定义域做限制就求多对一函数的反函数
  - 原因: 多对一函数不通过水平线测试，因此在整个定义域上不存在有效的反函数
  - 正确做法: 求反函数前，先将原函数的定义域限制到它是一一对应的区间

## 速查表

| 概念 | 核心法则 | 记号 |
| --- | --- | --- |
| 先$g$后$f$的复合 | 将$g(x)$代入$f(x)$ | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ |
| $f \circ g$的定义域 | $x$属于$g$的定义域，且$g(x)$属于$f$的定义域 | - |
| 反函数 | 反转一一对应函数$f$的映射 | $f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$ |
| 反函数验证 | $f(f^{-1}(x)) = x$ and $f^{-1}(f(x)) = x$ | - |
| 反函数图像 | $y=f(x)$关于$y=x$的对称图形 | - |
| 定义域/值域交换 | $f$的定义域 = $f^{-1}$的值域 | - |

## 下一步

复合函数与反函数是IB AI HL中几乎所有后续函数主题的基础。函数变换可以描述为原函数与线性平移缩放函数的复合。指数函数与对数函数互为反函数，因此理解它们的反函数关系是解这些函数方程的关键。在统计学中，反函数用于计算临界值和逆正态概率，这是一个核心考试考点。

- [图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-transformations-of-graphs/)
- [二次函数：根、顶点与不等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-quadratic-functions-roots-vertices-inequalities/)

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