用对数求解指数方程

IB 数学：应用与解释 HL· 1.6 指数与对数方程· 35 分钟阅读

1. 1. 核心方法：对两边取对数★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

指数方程的对数解法

$a^{x} = b$ , $a > 0, a \neq = 1$ , $b > 0$

我们可以对等式两边取对数，利用幂法则降下指数，然后分离变量求解 $x$ 。该方法成立是因为对数是一一对应函数，因此等式的等价性得以保留。

例:

$2^{x} = 10 ⟹ x = \frac{l o g 10}{l o g 2}$

该方法对任意底数的对数都成立：常用对数（底数10）和自然对数（底数 $e$ ）最常用，因为所有标准计算器都支持这两种对数计算。

📐 例题

求解 $5^{x} = 32$ ，将答案保留3位有效数字。

1
对两边取常用对数：
2
$\log\left(5^x\right) = \log(32)$
3
应用对数幂法则 $lo g (a^{b}) = b lo g a$ 降下指数：
4
$x \log 5 = \log 32$
5
整理变形分离出 $x$ ：
6
$x = \frac{\log 32}{\log 5}$
7
用计算器计算得到最终答案：
8
$x \approx 2.15$

2. 2. 两边均含线性指数的方程★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

大多数考题的方程两边都有线性指数，且底数通常不同。我们使用相同的核心对数方法，然后整理得到的线性方程，合并同类项后求解未知量。

📐 例题

求解 $3^{2 x - 1} = 7^{x}$ ，将答案保留2位小数。

1
对两边取自然对数（任意底数都适用）：
2
$\ln\left(3^{2x-1}\right) = \ln\left(7^x\right)$
3
应用幂法则降下两个指数：
4
$(2x - 1)\ln 3 = x \ln 7$
5
展开左侧，整理后将含 $x$ 的项集中到一侧：
6
$2x \ln 3 - \ln 3 = x \ln 7$
7
$2x \ln 3 - x \ln 7 = \ln 3$
8
对左侧提取公因子 $x$ ：
9
$x\left(2\ln 3 - \ln 7\right) = \ln 3$
10
分离 $x$ 后用计算器计算：
11
$x = \frac{\ln 3}{2\ln 3 - \ln 7} \approx 4.79$

3. 3. 求解实际情境中的指数方程★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

IB AI HL 经常要求你在指数增长和衰减模型中求解未知时间或增长率。这些问题遵循相同的对数方法，但需要你根据问题情境解释答案，必要时进行单位转换。

📐 例题

细菌种群数量按照 $P (t) = 100 e^{0.12 t}$ 增长，其中 $P (t)$ 是 $t$ 小时后的种群数量。种群数量增长到500需要多长时间？将结果四舍五入到最近的分钟数。

1
令种群数量等于500：
2
$500 = 100 e^{0.12t}$
3
两边同时除以100，分离出指数项：
4
$5 = e^{0.12t}$
5
对两边取自然对数（它是 $e^{x}$ 的反函数）：
6
$\ln 5 = \ln\left(e^{0.12t}\right)$
7
利用反函数性质 $ln (e^{a}) = a$ 化简：
8
$\ln 5 = 0.12 t$
9
求解以小时为单位的 $t$ ：
10
$t = \frac{\ln 5}{0.12} \approx 13.412 \text{ 小时}$
11
将小时的小数部分转换为分钟： $0.412 \times 60 \approx 25$ 分钟。
12
最终答案：13小时25分钟

✓ 快速检测

测试你的理解：

放射性物质衰变满足 $m (t) = 200 (0.95)^{t}$ ，其中 $m$ 是质量（单位：克）， $t$ 是时间（单位：天）。求半衰期的第一步是什么？
- 令 $100 = 200 (0.95)^{t}$ ，然后对两边取对数
- 令 $t = 0.5$ ，求解 $m$
- 在做任何操作前先除以200

4. 常见陷阱

错误做法:

对负数取对数后继续计算得到解

原因:

负数没有实对数，因此该方程无实数解

正确做法:

取对数前始终检查方程两边是否为正；如果一侧为负，说明不存在实数解。

错误做法:

对幂的和应用幂法则： $lo g (a^{x} + b^{y}) = x lo g a + y lo g b$

原因:

幂法则仅适用于对数内的单个幂项，不适用于幂的和

正确做法:

对两边取对数前，始终将整个指数项分离到方程的一侧。

错误做法:

错误化简 $\frac{l o g a}{l o g b} = lo g a - lo g b = lo g (\frac{a}{b})$

原因:

混淆了分数除法和对数商法则

正确做法:

记住 $\frac{l o g a}{l o g b} = lo g_{b} a$ ，先分别计算分子和分母再相除。

错误做法:

情境问题中最终答案单位错误

原因:

计算得到小数后急于写答案

正确做法:

务必检查题目要求的单位，完成前将小数转换为要求的单位。

5. 速查表

方程类型	步骤	最终形式
单根式 $a^{x} = b$	两边取对数 2. 降下x	$x = \frac{l o g b}{l o g a}$
两边含线性指数 $a^{m x + c} = b^{n x + d}$	两边取对数 2. 展开 3. 合并x项	$x = \frac{d l o g b - c l o g a}{m l o g a - n l o g b}$
自然底数模型 $A = A_{0} e^{k t}$	除以 $A_{0}$ 2. 两边取 $ln$	$t = \frac{1}{k} ln (\frac{A}{A _{0}})$
右侧为负数	立即停止计算	无实数解

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求解 $2^{x} = 15$ 中的 $x$
2023 · 2
指数衰减问题，求减半所需时间
2022 · 1
求解 $3^{2 x - 1} = 7^{x}$

深入阅读

formula sheetIB AI HL 公式手册摘录对数法则会在考试的公式手册中给出

下一步

用对数求解指数方程是所有后续指数和对数建模工作的基础技能，也是IB AI HL的核心主题。你会在复利、种群增长、放射性衰变和指数数据回归模型中不断用到这个技能。该技巧会同时出现在试卷1和试卷2的考题中，因此掌握代数变形和计算器计算是拿到满分的关键。即使使用图形计算器（GDC）求解这些方程，理解对数方法也能帮助你检查答案、发现错误。