部分分式

IB 数学 AI HL· Unit 1: Number and Algebra, Topic 9· 15 分钟阅读

1. 基础：真有理函数与假有理函数★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

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📘 定义

部分分式分解

$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \sum \frac{A _{i}}{( a x + b ) ^{k}} + \sum \frac{B _{j} x + C _{j}}{( c x ^{2} + d x + e ) ^{m}}$

将复杂有理函数拆分为多个更简单分式之和的过程，拆分后更易于积分或代数运算

例:

$\frac{3 x + 1}{x ^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$

开始分解前，必须先检查分子和分母的次数。对于假有理函数（分子次数 ≥ 分母次数），必须先进行多项式长除法，得到商多项式加真有理余式，再对余式进行分解。

📐 例题

将 $\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 1}$ 分解为部分分式

1
检查次数：分子次数为 3，分母次数为 2，这是假有理函数，因此首先进行多项式除法。
2
除法后得到：
3
$x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 1)(x+3) + (-x + 4)$
4
将原函数改写为：
5
$x + 3 + \frac{-x + 4}{x^2 - 1}$
6
对真余式的分母因式分解： $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ ，得到两个互异一次因式。
7
建立分解式： $\frac{- x + 4}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ 。两边同时乘以 $(x - 1) (x + 1)$ 得：
8
$-x + 4 = A(x+1) + B(x-1)$
9
代入 $x = 1$ ： $3 = 2 A \to A = \frac{3}{2}$ 。代入 $x = - 1$ ： $5 = - 2 B \to B = - \frac{5}{2}$ 。
10
最终分解结果：
11
$\frac{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = x + 3 + \frac{3}{2(x-1)} - \frac{5}{2(x+1)}$

Exam tip:

一定要先检查次数——假有理函数忘记做除法是考试中最常见的错误，会白白丢掉本该拿到的分数。

2. 互异一次因式与重复一次因式★★★☆☆HL 专属⏱ 6 min

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当分母分解为一次因式的乘积时，互异因式和重复因式遵循不同的规则：

每个互异一次因式 $(a x + b)$ 对应一个分子为常数的部分分式 $\frac{A}{a x + b}$
重复一次因式 $(a x + b)^{n}$ 对应 $n$ 个部分分式，每个幂次从 1 到 $n$ 各对应一个

📘 定义

重复一次因式

分母中次数大于 1 的一次因式

例:

对于 $\frac{2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 4 ) ^{2}}$ ，重复因式 $(x + 4)^{2}$ 对应两个部分分式： $\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{( x + 4 ) ^{2}}$

📐 例题

将 $\frac{5 x ^{2} - 8 x + 3}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}}$ 分解为部分分式

1
检查次数： $2 < 3$ ，因此是真有理函数，不需要做除法。
2
对一个互异一次因式和一个重复一次因式建立分解式：
3
$\frac{5x^2 - 8x + 3}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$
4
两边同时乘以 $(x - 1) (x - 2)^{2}$ 得：
5
$5x^2 - 8x + 3 = A(x-2)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-1)$
6
代入 $x = 1$ ： $0 = A (1) \to A = 0$ 。代入 $x = 2$ ： $7 = C (1) \to C = 7$ 。
7
比较 $x^{2}$ 的系数： $5 = A + B \to B = 5$ 。
8
最终分解结果：
9
$\frac{5x^2 - 8x + 3}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{5}{x-2} + \frac{7}{(x-2)^2}$

3. 不可约二次因式★★★★☆HL 专属⏱ 7 min

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不可约二次因式是指无法分解为实系数一次因式乘积的二次式 $a x^{2} + b x + c$ ，当判别式 $b^{2} - 4 a c < 0$ 时就属于这种情况。对于这类因式，对应的部分分式必须使用一次分子（不能是常数）。

📐 例题

将 $\frac{4 x ^{2} + 13 x + 10}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 2 x + 3 )}$ 分解为部分分式

1
检查：次数 2 < 3，是真有理函数。检查二次式的判别式： $2^{2} - 4 (1) (3) = - 8 < 0$ ，因此不可约。
2
对二次因式使用一次分子，建立分解式：
3
$\frac{4x^2 + 13x + 10}{(x+1)(x^2 + 2x + 3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3}$
4
两边同时乘以完整分母得：
5
$4x^2 + 13x + 10 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x+1)$
6
代入 $x = - 1$ ： $1 = 2 A \to A = \frac{1}{2}$ 。
7
展开右侧并比较系数： $x^{2}$ 项： $4 = A + B \to B = \frac{7}{2}$ ，常数项： $10 = 3 A + C \to C = \frac{17}{2}$ 。
8
最终分解结果：
9
$\frac{4x^2 + 13x + 10}{(x+1)(x^2 + 2x + 3)} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{7x + 17}{2(x^2 + 2x + 3)}$

4. 应用：有理函数的积分★★★☆☆HL 专属⏱ 5 min

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在 IB AI HL 中，部分分式的主要用途是化简有理函数，以便使用一次项对应的标准对数法则积分。

📐 例题

计算 $\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} - x - 2} d x$

1
对分母因式分解： $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$
2
分解得： $\frac{3 x + 1}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{7}{3 ( x - 2 )} + \frac{2}{3 ( x + 1 )}$
3
改写积分：
4
$\int \left( \frac{7}{3(x-2)} + \frac{2}{3(x+1)} \right) dx$
5
利用 $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$ 逐项积分：
6
$\frac{7}{3} \ln|x-2| + \frac{2}{3} \ln|x+1| + C$

Exam tip:

积分后对数中一定要保留绝对值——遗漏会丢掉准确度分。

5. 常见陷阱

错误做法:

假有理函数忘记做多项式除法

原因:

部分分式公式仅适用于真有理函数，因此会得到错误的常数结果

正确做法:

一定要先比较次数，若分子次数 ≥ 分母次数则先做除法

错误做法:

不可约二次因式使用常数分子

原因:

这会造成方程次数不平衡，导致结果错误

正确做法:

不可约二次因式一定要使用一次分子 $B x + C$

错误做法:

重复一次因式只添加一个部分分式

原因:

会遗漏低次项，导致分解错误

正确做法:

对于 $(a x + b)^{n}$ ，添加 $n$ 个部分分式，每个幂次从 1 到 $n$ 各一个

错误做法:

积分部分分式时遗漏绝对值

原因:

自然对数仅对正输入有定义，因此当 $x$ 为负时遗漏绝对值会导致错误

正确做法:

积分后一定要写 $ln ∣ a x + b ∣$ ，而不是 $ln (a x + b)$

6. 速查表

分母因式类型	对应的部分分式项
互异一次因式 $(a x + b)$	$\frac{A}{a x + b}$
重复一次因式 $(a x + b)^{n}$	$\frac{A _{1}}{a x + b} + \frac{A _{2}}{( a x + b ) ^{2}} + ... + \frac{A _{n}}{( a x + b ) ^{n}}$
互异不可约二次因式 $(a x^{2} + b x + c)$	$\frac{A x + B}{a x ^{2} + b x + c}$
重复不可约二次因式 $(a x^{2} + b x + c)^{n}$	$\frac{A _{1} x + B _{1}}{a x ^{2} + b x + c} + ... + \frac{A _{n} x + B _{n}}{( a x ^{2} + b x + c ) ^{n}}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

部分分式是基础代数技能，你在积分有理函数时会反复用到，而有理函数积分会出现在 IB AI HL 考试的试卷 1 和试卷 2 中。现在掌握分解方法会简化你未来所有的积分工作，还能巩固你适用于整个大纲的核心多项式代数技能。本主题直接衔接积分技巧，而积分技巧是 IB AI HL 的主要考核内容，因此在这里巩固理解会让你在后续单元受益。