科学记数法数字运算

IB 数学：应用与解释 HL· 1.1 数与代数：科学记数法· 25 分钟阅读

1. 乘法与除法★☆☆☆☆HL 专属⏱ 10 min

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进行乘法和除法时，我们利用指数法则简化计算：分别对尾数（即 $a$ 项）进行乘/除运算，再分别对10的指数进行加/减运算。

📐 例题

计算 $(3.2 \times 1 0^{4}) \times (2.5 \times 1 0^{2})$ 和 $(7.2 \times 1 0^{5}) \div (1.2 \times 1 0^{3})$ ，结果均保留科学记数法形式。

1
乘法运算：分别分组尾数和10的幂：
2
$(3.2 \times 2.5) \times (10^4 \times 10^2)$
3
计算尾数乘积，相加指数：
4
$8 \times 10^{4+2} = 8 \times 10^6$
5
除法运算：分组各项，相除尾数，相减指数：
6
$\frac{7.2}{1.2} \times 10^{5-3} = 6 \times 10^2$
7
两个结果都已经是正确的科学记数法形式。

2. 加法与减法★★☆☆☆HL 专属⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

加减法法则

对科学记数法表示的值进行加减时，首先将所有项转换为相同的10的幂，然后对尾数进行加减，最后如有需要调整最终结果为正确形式。

例:

$3 \times 1 0^{2} + 5 \times 1 0^{1} = 30 \times 1 0^{1} + 5 \times 1 0^{1} = 3.5 \times 1 0^{2}$

📐 例题

计算 $(6.4 \times 1 0^{3}) + (2.1 \times 1 0^{2})$ ，结果保留科学记数法形式。

1
步骤1：改写各项使指数相同。将 $2.1 \times 1 0^{2}$ 改写为指数为3的形式：
2
$2.1 \times 10^2 = 0.21 \times 10^3$
3
步骤2：相加尾数，保留公共指数：
4
$(6.4 + 0.21) \times 10^3 = 6.61 \times 10^3$
5
结果已经是正确形式，因此这就是最终答案。

3. 将结果调整为正确形式★★☆☆☆HL 专属⏱ 10 min

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运算完成后，结果的尾数经常会小于1或大于等于10，不符合科学记数法的标准定义。你必须调整它才能获得满分。

📐 例题

计算 $(5.0 \times 1 0^{3}) \times (4.0 \times 1 0^{2})$ ，结果保留正确的科学记数法形式。

1
步骤1：先进行乘法运算：
2
$(5.0 \times 4.0) \times 10^{3+2} = 20 \times 10^5$
3
步骤2：尾数20大于10，因此将其调整到1到10之间：
4
$20 = 2.0 \times 10^1$
5
步骤3：合并指数得到最终结果：
6
$2.0 \times 10^1 \times 10^5 = 2.0 \times 10^6$

如果尾数小于1，反向操作即可：将尾数乘以10，指数减1。例如， $0.45 \times 1 0^{- 2} = 4.5 \times 1 0^{- 3}$ 。

4. 实际应用★★★☆☆HL 专属⏱ 10 min

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科学记数法用于各种实际场景中的测量值，包括大数值（人口、天文距离）和小数值（原子质量、微观长度）。

📐 例题

一个国家的人口为 $5.2 \times 1 0^{7}$ 人，人均年碳排放量为 $9.5 \times 1 0^{3}$ 千克。用科学记数法计算该国年碳排放总量。

1
总排放量 = 人口 × 人均排放量，因此将两个数值相乘：
2
$(5.2 \times 9.5) \times (10^7 \times 10^3) = 49.4 \times 10^{10}$
3
调整为正确的科学记数法：
4
$49.4 \times 10^{10} = 4.94 \times 10^{11}$

年碳排放总量为 $4.94 \times 1 0^{11}$ 千克。

5. 常见陷阱

错误做法:

未先统一指数就直接相加科学记数法的指数

原因:

错误地将乘法法则套用在加法上，会导致结果出现巨大误差

正确做法:

对尾数进行加减前，始终先将所有项转换为相同的10的幂

错误做法:

运算后尾数不在 $1 \leq a < 10$ 范围内时忘记调整

原因:

阅卷考官要求答案使用标准科学记数法，因此即使数值正确也会失分

正确做法:

始终检查最终结果，调整指数和尾数以满足要求

错误做法:

将 $35 \times 1 0^{4}$ 调整为 $3.5 \times 1 0^{3}$ 而非 $3.5 \times 1 0^{5}$

原因:

指数变化方向错误：将尾数除以10需要将指数加1

正确做法:

如果将尾数除以 $1 0^{k}$ ，则指数加 $k$ ；如果将尾数乘以 $1 0^{k}$ ，则指数减 $k$

错误做法:

加法统一指数时，将 $2.1 \times 1 0^{- 3}$ 转换为 $0.021 \times 1 0^{- 2}$

原因:

改变指数值时尾数缩放错误

正确做法:

要将指数加1，需将尾数除以10，所以 $2.1 \times 1 0^{- 3} = 0.21 \times 1 0^{- 2}$

6. 速查表

运算	法则	示例
乘法	$(a \times 1 0^{m}) (b \times 1 0^{n}) = ab \times 1 0^{m + n}$ , adjust form	$(2 \times 1 0^{3}) (3 \times 1 0^{2}) = 6 \times 1 0^{5}$
除法	$\frac{a \times 1 0 ^{m}}{b \times 1 0 ^{n}} = \frac{a}{b} \times 1 0^{m - n}$ , adjust form	$\frac{8 \times 1 0 ^{5}}{2 \times 1 0 ^{2}} = 4 \times 1 0^{3}$
加减	Convert to same exponent, add/subtract mantissas, adjust form	$3 \times 1 0^{2} + 4 \times 1 0^{1} = 3.4 \times 1 0^{2}$
调整	$a \geq 10$ : $a = a /10 \times 1 0^{1}$ , +1 to exponent; $a < 1$ : $a = 10 a \times 1 0^{- 1}$ , -1 to exponent	$25 \times 1 0^{3} = 2.5 \times 1 0^{4}$ ; $0.35 \times 1 0^{2} = 3.5 \times 1 0^{1}$

真题中的出现

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掌握科学记数法运算IB AI HL所有后续主题的基础技能，在统计、微积分和数学建模中你会经常处理实际场景中的大小数值。牢固掌握这里的指数法则也能为对数和指数增长/衰减模型的学习打下基础，这些内容在卷1和卷2考试中占比很高。现在练习这些运算可以为课程后续更复杂的问题培养准确率。