# 科学记数法数字运算

> IB 数学：应用与解释 HL · 第一单元：数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-operations-with-numbers-in-scientific/

本子主题讲解如何对科学记数法（常用于科学和实际场景中表示极大极小值的标准形式）表示的数字进行所有核心算术运算：乘法、除法、加法和减法。

**先修:** 整数幂的指数定律; 标准形式与科学记数法之间的转换

## 学习目标

- 对科学记数法表示的数字进行乘、除、加、减运算
- 调整结果使其满足科学记数法的标准形式要求
- 运用运算解决涉及大/小数值的实际问题

## 乘法与除法

进行乘法和除法时，我们利用指数法则简化计算：分别对尾数（即$a$项）进行乘/除运算，再分别对10的指数进行加/减运算。

**例题:** 计算 $(3.2 \times 10^4) \times (2.5 \times 10^2)$ 和 $(7.2 \times 10^5) \div (1.2 \times 10^3)$，结果均保留科学记数法形式。

1. 乘法运算：分别分组尾数和10的幂：
2. $$(3.2 \times 2.5) \times (10^4 \times 10^2)$$
3. 计算尾数乘积，相加指数：
4. $$8 \times 10^{4+2} = 8 \times 10^6$$
5. 除法运算：分组各项，相除尾数，相减指数：
6. $$\frac{7.2}{1.2} \times 10^{5-3} = 6 \times 10^2$$
7. 两个结果都已经是正确的科学记数法形式。

> **tip**
>
> 分开处理尾数和10的幂可以避免将指数法则与尾数的算术运算混淆。

*计算器:* allowed

## 加法与减法

**加减法法则** — 对科学记数法表示的值进行加减时，首先将所有项转换为相同的10的幂，然后对尾数进行加减，最后如有需要调整最终结果为正确形式。

*例:* $3 \times 10^2 + 5 \times 10^1 = 30 \times 10^1 + 5 \times 10^1 = 3.5 \times 10^2$

**例题:** 计算 $(6.4 \times 10^3) + (2.1 \times 10^2)$，结果保留科学记数法形式。

1. 步骤1：改写各项使指数相同。将 $2.1 \times 10^2$ 改写为指数为3的形式：
2. $$2.1 \times 10^2 = 0.21 \times 10^3$$
3. 步骤2：相加尾数，保留公共指数：
4. $$(6.4 + 0.21) \times 10^3 = 6.61 \times 10^3$$
5. 结果已经是正确形式，因此这就是最终答案。

> **warning**
>
> 加法运算时切勿直接相加指数：该规则仅适用于乘法。

*计算器:* allowed

## 将结果调整为正确形式

运算完成后，结果的尾数经常会小于1或大于等于10，不符合科学记数法的标准定义。你必须调整它才能获得满分。

**例题:** 计算 $(5.0 \times 10^3) \times (4.0 \times 10^2)$，结果保留正确的科学记数法形式。

1. 步骤1：先进行乘法运算：
2. $$(5.0 \times 4.0) \times 10^{3+2} = 20 \times 10^5$$
3. 步骤2：尾数20大于10，因此将其调整到1到10之间：
4. $$20 = 2.0 \times 10^1$$
5. 步骤3：合并指数得到最终结果：
6. $$2.0 \times 10^1 \times 10^5 = 2.0 \times 10^6$$

如果尾数小于1，反向操作即可：将尾数乘以10，指数减1。例如，$0.45 \times 10^{-2} = 4.5 \times 10^{-3}$。

*计算器:* allowed

## 实际应用

科学记数法用于各种实际场景中的测量值，包括大数值（人口、天文距离）和小数值（原子质量、微观长度）。

**例题:** 一个国家的人口为 $5.2 \times 10^7$ 人，人均年碳排放量为 $9.5 \times 10^3$ 千克。用科学记数法计算该国年碳排放总量。

1. 总排放量 = 人口 × 人均排放量，因此将两个数值相乘：
2. $$(5.2 \times 9.5) \times (10^7 \times 10^3) = 49.4 \times 10^{10}$$
3. 调整为正确的科学记数法：
4. $$49.4 \times 10^{10} = 4.94 \times 10^{11}$$

年碳排放总量为 $4.94 \times 10^{11}$ 千克。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 未先统一指数就直接相加科学记数法的指数
  - 原因: 错误地将乘法法则套用在加法上，会导致结果出现巨大误差
  - 正确做法: 对尾数进行加减前，始终先将所有项转换为相同的10的幂
- **错误做法:** 运算后尾数不在 $1 \leq a < 10$ 范围内时忘记调整
  - 原因: 阅卷考官要求答案使用标准科学记数法，因此即使数值正确也会失分
  - 正确做法: 始终检查最终结果，调整指数和尾数以满足要求
- **错误做法:** 将 $35 \times 10^4$ 调整为 $3.5 \times 10^3$ 而非 $3.5 \times 10^5$
  - 原因: 指数变化方向错误：将尾数除以10需要将指数加1
  - 正确做法: 如果将尾数除以 $10^k$，则指数加 $k$；如果将尾数乘以 $10^k$，则指数减 $k$
- **错误做法:** 加法统一指数时，将 $2.1 \times 10^{-3}$ 转换为 $0.021 \times 10^{-2}$
  - 原因: 改变指数值时尾数缩放错误
  - 正确做法: 要将指数加1，需将尾数除以10，所以 $2.1 \times 10^{-3} = 0.21 \times 10^{-2}$

## 速查表

| 运算 | 法则 | 示例 |
| --- | --- | --- |
| 乘法 | $(a \times 10^m)(b \times 10^n) = ab \times 10^{m+n}$, adjust form | $(2 \times 10^3)(3 \times 10^2) = 6 \times 10^5$ |
| 除法 | $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$, adjust form | $\frac{8 \times 10^5}{2 \times 10^2} = 4 \times 10^3$ |
| 加减 | Convert to same exponent, add/subtract mantissas, adjust form | $3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 = 3.4 \times 10^2$ |
| 调整 | $a \geq 10$: $a = a/10 \times 10^1$, +1 to exponent; $a < 1$: $a = 10a \times 10^{-1}$, -1 to exponent | $25 \times 10^3 = 2.5 \times 10^4$; $0.35 \times 10^2 = 3.5 \times 10^1$ |

## 下一步

掌握科学记数法运算IB AI HL所有后续主题的基础技能，在统计、微积分和数学建模中你会经常处理实际场景中的大小数值。牢固掌握这里的指数法则也能为对数和指数增长/衰减模型的学习打下基础，这些内容在卷1和卷2考试中占比很高。现在练习这些运算可以为课程后续更复杂的问题培养准确率。

- [近似、误差与估计](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-approximation-error-and-estimation/)
- [算术与几何序列和级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-arithmetic-and-geometric-sequences-and/)
- [等比数列与级数的金融应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/)

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