对数运算法则

IB 数学：应用与解释 HL· 20 分钟阅读

1. 对数的乘法定则与除法定则★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

对数乘法定则

\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y

两个正数乘积的对数，等于相同底数下两个数各自对数的和。适用条件为 $x > 0, y > 0, b > 0, b \neq = 1$ 。

📐 例题

化简 $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4$

1
检查条件：8和4均为正数，底数同为2，因此可以应用乘法定则。
2
应用乘法定则：
3
$\log_2(8 \times 4) = \log_2 32$
4
改写为指数形式计算： $2^{5} = 32$ ，所以 $lo g_{2} 32 = 5$ 。
5
最终结果： $5$

📘 定义

对数除法定则

\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y

两个正数商的对数，等于相同底数下分子的对数减去分母的对数。适用条件为 $x > 0, y > 0, b > 0, b \neq = 1$ 。

📐 例题

化简 $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4$

1
检查条件：36和4均为正数，底数同为3，因此可以应用除法定则。
2
应用除法定则：
3
$\log_3\left(\frac{36}{4}\right) = \log_3 9$
4
计算得： $3^{2} = 9$ ，所以 $lo g_{3} 9 = 2$ 。

Exam tip:

应用任何对数法则前，请务必确认所有对数的真数都为正数。负数真数会使对数无定义。

2. 对数幂法则★★☆☆☆⏱ 15 min

幂法则将对数运算扩展到真数带幂次的情况，是本课程后续求解指数方程最常用的法则。

📘 定义

对数幂法则

\log_b(x^n) = n\log_b x

正数的 $n$ 次幂的对数，等于 $n$ 乘以原数的对数。适用条件为 $x > 0, b > 0, b \neq = 1, n \in R$ 。

📐 例题

化简 $2 lo g_{5} 10 - lo g_{5} 4$

1
先对第一项应用幂法则：
2
$2\log_5 10 = \log_5(10^2) = \log_5 100$
3
代回原式得： $lo g_{5} 100 - lo g_{5} 4$
4
应用除法定则：
5
$\log_5\left(\frac{100}{4}\right) = \log_5 25$
6
计算得： $5^{2} = 25$ ，因此化简结果是 $2$ 。

✓ 快速检测

测试你对幂法则的理解

$lo g (10 x^{3})$ 的展开形式是下列哪一项？
- A) $3 lo g 10 + lo g x$
- B) $lo g 10 + 3 lo g x$
- C) $3 (lo g 10 + lo g x)$
- D) $lo g 10 + lo g (3 x)$
显示答案
B —
先应用乘法定则： $lo g (10 x^{3}) = lo g 10 + lo g x^{3}$ 。再对 $lo g x^{3}$ 应用幂法则得到 $lo g 10 + 3 lo g x$ 。

3. 换底公式★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

IB 考试经常要求计算底数不是10或 $e$ 的对数，大多数计算器无法直接计算这类对数。换底公式可以将任意对数改写为计算器支持的底数形式。

📘 定义

换底公式

\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

任意对数都可以改写为两个新底数 $c$ 的对数的比值。为方便计算器计算， $c$ 最常取10（常用对数）或 $e$ （自然对数）。适用条件为 $a > 0, b > 0, b \neq = 1, c > 0, c \neq = 1$ 。

📐 例题

计算 $lo g_{7} 25$ 的值，保留三位小数

1
使用自然对数应用换底公式：
2
$\log_7 25 = \frac{\ln 25}{\ln 7}$
3
分别计算分子和分母：
4
$\ln 25 \approx 3.2189, \quad \ln 7 \approx 1.9459$
5
计算比值： $\frac{3.2189}{1.9459} \approx 1.654$
6
使用底数10计算会得到相同结果： $\frac{l o g _{10} 25}{l o g _{10} 7} \approx 1.654$

Exam tip:

如果你的计算器只能输出一种对数，记住换底公式对常用对数和自然对数都适用，两种方式得到的结果相同。

4. 结合多个对数法则★★★☆☆⏱ 20 min

考试题目几乎都需要结合多个法则来化简表达式或求解未知数。通用的最优方法是：先对所有系数应用幂法则，再用乘法定则/除法定则合并各项。

📐 例题

将 $3 lo g_{a} 2 + \frac{1}{2} lo g_{a} 25 - lo g_{a} 10$ 合并为单个对数

1
对所有带系数的项应用幂法则：
2
$3\log_a 2 = \log_a 2^3 = \log_a 8, \quad \frac{1}{2}\log_a 25 = \log_a 25^{1/2} = \log_a 5$
3
代回原式得： $lo g_{a} 8 + lo g_{a} 5 - lo g_{a} 10$
4
对前两项应用乘法定则：
5
$\log_a (8 \times 5) - \log_a 10 = \log_a 40 - \log_a 10$
6
应用除法定则合并剩余项：
7
$\log_a \left(\frac{40}{10}\right) = \log_a 4$
8
最终结果： $lo g_{a} 4$

✓ 快速检测

测试你结合多个法则的能力

下列哪一项与 $ln (\frac{e ^{2} x ^{3}}{y})$ 等价？
- A) $2 + 3 ln x - ln y$
- B) $2 e + 3 ln x - ln y$
- C) $2 + 3 ln (\frac{x}{y})$
- D) $\frac{2 + 3 l n x}{l n y}$
显示答案
A —
分步展开： $ln (e^{2} x^{3}) - ln y = ln e^{2} + ln x^{3} - ln y = 2 ln e + 3 ln x - ln y = 2 + 3 ln x - ln y$ ，因为 $ln e = 1$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

Claiming $lo g_{b} (x + y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$

原因:

乘法定则适用于 $x$ 和 $y$ 的乘积，而非 $x$ 和 $y$ 的和。目前没有关于和的对数的通用法则。

正确做法:

乘积使用 $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ ，除非可以对真数因式分解，否则 $lo g_{b} (x + y)$ 保持不变。

错误做法:

Claiming $\frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} y} = lo g_{b} (\frac{x}{y})$

原因:

除法定则常与换底公式混淆。除法定则得到的是对数的差，而非比值。

正确做法:

$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$ ，根据换底公式， $\frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} y} = lo g_{y} x$ 。

错误做法:

Claiming $(lo g_{b} x)^{n} = n lo g_{b} x$

原因:

幂法则适用于对数真数的幂次，而非整个对数的幂次。

正确做法:

$lo g_{b} (x^{n}) = n lo g_{b} x$ ； $(lo g_{b} x)^{n}$ 无法用幂法则化简。

错误做法:

接受使原对数真数为负数的解

原因:

对数仅对正真数有定义，即使化简后的表达式对负数有定义，原表达式仍然无定义。

正确做法:

求解未知数后，务必检查所有原对数的真数是否为正，舍去所有无效解。

6. 速查表

法则名称	公式	适用条件
乘法定则	$lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$	$x > 0, y > 0, b > 0, b \neq = 1$
除法定则	$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$	$x > 0, y > 0, b > 0, b \neq = 1$
幂法则	$lo g_{b} (x^{n}) = n lo g_{b} x$	$x > 0, b > 0, b \neq = 1$
换底公式	$lo g_{b} a = \frac{l n a}{l n b} = \frac{l o g _{10} a}{l o g _{10} b}$	$a > 0, b > 0, b \neq = 1$

下一步

掌握对数法则是 IB 应用与解释 HL 几乎所有后续主题的基础技能。这些法则会经常用于求解指数方程、建模指数增长与衰减、将非线性数据转化为线性形式进行回归，以及在微积分中处理对数函数。你接下来就会应用这些法则求解指数方程和对数方程，这是你在本课程中遇到的几乎所有建模问题的基础。

→用对数求解指数方程