学习指南

计数原理、排列与组合

IB 数学：应用与解读 HL· Unit 1: Number and Algebra, Topic 7· 15 分钟阅读

1. 基本计数原理★☆☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

基本计数原理

如果完成第一个任务有种方式，完成第二个任务有种方式，依此类推，共有k个独立任务，那么完成所有任务的总方式数为乘积。

例:

三位数字的独立PIN码总共有种可能结果。

📐 例题

一家咖啡店提供4种饮品尺寸、8种咖啡豆类型和3种甜味剂选项。选择一种尺寸、一种咖啡豆和一种甜味剂，总共有多少种不同的组合？

  1. 1

    找出每个选择的独立选项数：

  2. 2
    4 (sizes)×8 (beans)×3 (sweeteners)4 \text{ (sizes)} \times 8 \text{ (beans)} \times 3 \text{ (sweeteners)}
  3. 3

    计算乘积得到总组合数：

  4. 4
    4×8×3=964 \times 8 \times 3 = 96

Exam tip:

相乘前一定要确认选择是独立的。对于相依选择（不放回），需要调整后续每一步的选项数。

2. 不同元素的排列★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

（不同元素的）排列

or

从n个不同元素中选取r个元素的有序排列，不允许重复。顺序会影响结果，因此交换两个元素会得到新的排列。

例:

从5个不同字母中得到的3字母代码是排列，因为ABC与CBA不同。

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
📐 例题

5幅不同的画在墙上排成一行，有多少种排列方式？

  1. 1

    我们排列全部5个不同元素，因此，：

  2. 2
    P(5,5)=5!(5−5)!=1200!P(5,5) = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{120}{0!}
  3. 3

    记住根据定义，因此：

  4. 4
    P(5,5)=120P(5,5) = 120
✓ 快速检测

测试你的理解：从A、B、C、D、E中不重复地组成3字母代码，共有多少种？

  1. 总共有多少种可能的代码？

    • 20

    • 60

    • 10

    • 120

    显示答案
    60 —

    。正确，因为代码的顺序是有影响的。

3. 含重复元素的排列★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

多重集的排列

当排列n个总元素，其中存在重复的相同元素时，我们需要除以每个重复元素个数的阶乘，避免重复计数相同的排列。

例:

排列单词"BOOK"的字母时，需要除以两个相同O的。

Total distinct permutations=n!n1!×n2!×...×nk!\text{Total distinct permutations} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}
[Block type renderer not yet implemented · content will appear once shipped]
📐 例题

单词"BANANA"的字母有多少种不同的排列方式？

  1. 1

    统计总字母数：。统计重复字母：A = 3个，N = 2个，B = 1个：

  2. 2
    Total arrangements=6!3!×2!×1!\text{Total arrangements} = \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!}
  3. 3

    化简表达式：

  4. 4
    7206×2×1=60\frac{720}{6 \times 2 \times 1} = 60

Exam tip:

不要忘记除以每一组重复元素的阶乘，而不是只除以一组。

4. 无序选择的组合★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

组合

or

从n个不同元素中选取r个元素的无序选择。顺序不影响结果，因此交换两个元素不会得到新的组合。

例:

从12人中选出3人组成委员会是组合问题，因为所有角色都相同。

(nr)=n!r!(n−r)!=P(n,r)r!\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!} = \frac{P(n,r)}{r!}
📐 例题

一个12人的班级要选出3人组成委员会，总共有多少种不同的可能委员会？

  1. 1

    顺序不影响结果（没有不同角色），因此，：

  2. 2
    (123)=12!3!×9!=12×11×103×2×1\binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1}
  3. 3

    计算结果：

  4. 4
    2×11×10=2202 \times 11 \times 10 = 220

5. 常见陷阱

错误做法:

将排列问题当作组合问题，或反之

原因:

忘记顺序会改变排列的计数结果，导致最终数值错误

正确做法:

问自己：交换两个元素是否会产生新结果？如果是，用排列；如果否，用组合

错误做法:

忘记

原因:

当对全部n个元素进行排列（）时，会得到无定义或错误的结果

正确做法:

永远记住，按照约定被定义为1，不是0

错误做法:

排列中没有为重复元素除以对应的阶乘

原因:

将相同排列计为不同排列，导致总结果数高估

正确做法:

对于每一组重复的相同元素，都要除以该组大小的阶乘

错误做法:

基本计数原理中用加法代替乘法

原因:

混淆了「和」（完成所有任务）与「或」（从互斥组中选择一个选项）

正确做法:

「和」的情况用乘法，互斥「或」的情况用加法

错误做法:

使用基本计数原理时没有为相依选择调整选项数

原因:

即使选择后元素被移除，仍然保留每一步的原始选项数

正确做法:

不放回选择时，后续每一步的可用选项数都要减1

6. 速查表

规则

公式

使用场景

基本计数原理

独立顺序选择

排列（不同元素，无重复）

从n个不同元素中有序选择

排列（含重复元素）

含相同重复元素的排列

组合（无序）

从n个不同元素中无序选择

7. 常见问题

我需要记忆排列和组合的公式吗？

虽然你的GDC可以计算数值，但你必须识别何时使用哪个公式，因此记住两者的区别对考试成功至关重要。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2021 · 1

    计算座位排列数

  • 2022 · 1

    团队选择的组合问题

  • 2023 · 2

    含重复元素的排列问题

深入阅读

下一步

计数原理是计算离散事件概率的基础构建模块，你将在IB AI HL的所有统计主题中广泛使用它们。你将应用这些规则计算二项分布、期望值和组合假设检验的概率。排列组合问题经常出现在试卷1和试卷2中，每题通常占5-8分。掌握排列与组合的区别是本主题后续学习中最重要的技能。