复数：定义、运算与极坐标形式

IB 数学 AI HL· 25 分钟阅读

1. 定义与直角坐标形式★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

复数（直角坐标形式）

z = a + bi

形式为 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，且满足 $i^{2} = - 1$ 。 $a = Re (z)$ 是实部， $b = Im (z)$ 是虚部。

例:

对于 $z = 3 - 2 i$ ， $Re (z) = 3$ ， $Im (z) = - 2$

所有复数都可以在复平面上表示为点 $(a, b)$ ，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

📐 例题

将 $z = i (4 - 2 i)$ 化简为直角坐标形式后，求 $Re (z)$ 和 $Im (z)$ 。

1
利用 $i^{2} = - 1$ 展开乘积：
2
$i(4 - 2i) = 4i - 2i^2 = 4i - 2(-1) = 2 + 4i$
3
对比 $a + bi$ 的形式得到各分量：
4
$Re (z) = 2$ ， $Im (z) = 4$

Exam tip:

在确定实部和虚部之前，请务必先完全化简表达式，不要忘记虚部的符号。

2. 复数的运算（直角坐标形式）★★★☆☆⏱ 10 min

复数的算术运算遵循与实数相同的规则，额外需要利用 $i^{2} = - 1$ 化简。加减法和乘法运算都很直接，而除法需要用到复共轭。

📘 定义

复共轭

\bar{z}

对于 $z = a + bi$ ，其共轭为 $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ 。乘积 $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ ，始终为正实数。该性质可让我们在复数除法中对分母有理化。

例:

$1 - i$ 的共轭是 $1 + i$ ，且 $(1 - i) (1 + i) = 2$

📐 例题

将 $\frac{3 + 2 i}{1 - 2 i}$ 化简为直角坐标形式 $a + bi$ 。

1
1. 求分母的共轭： $\overline{1 - 2 i} = 1 + 2 i$
2
1. 将分子分母同时乘以该共轭，保持表达式值不变：
3
$\frac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}$
4
1. 展开并化简分母：
5
$(1)^2 - (2i)^2 = 1 - 4(-1) = 5$
6
1. 展开并化简分子：
7
$3(1) + 3(2i) + 2i(1) + 2i(2i) = 3 + 6i + 2i + 4i^2 = 3 + 8i - 4 = -1 + 8i$
8
1. 除以分母得到最终结果：
9
$\frac{-1 + 8i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$

3. 复数的极坐标形式★★★☆☆⏱ 12 min

利用复平面上的极坐标系，我们可以将任意非零复数表示为模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）的形式。这种形式可以简化多个复数的乘除运算。

📘 定义

极坐标（模-辐角）形式

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

其中 $r = ∣ z ∣ \geq 0$ 为模， $θ = arg (z)$ 为辐角，通常取主值范围 $- π < θ \leq π$ 。对于任意直角坐标形式的复数 $a + bi$ ，有 $r = a^{2} + b^{2}$ ， $tan θ = \frac{b}{a}$ 。

📐 例题

将 $z = - 1 + i$ 从直角坐标形式转换为极坐标形式。

1
1. 计算模 $r$ ：
2
$r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$
3
1. 确定 $z$ 所在象限： $(- 1, 1)$ 位于第二象限。
4
1. 计算得 $tan θ = \frac{b}{a} = \frac{1}{- 1} = - 1$ ，参考角为 $\frac{π}{4}$ ，调整到第二象限得到：
5
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
6
1. 写出最终极坐标形式：
7
$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$

对于两个极坐标形式复数的乘积和商，我们使用以下性质：若 $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ ，则：

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2}))$
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} (cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2}))$

Exam tip:

计算辐角时，请务必确认复数所在的象限。计算器中的反正切函数只返回第一和第四象限的结果，因此对于第二和第三象限的点需要加上 $π$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

忽略负号，错误得到 $Im (3 - 2 i) = 2$

原因:

虚部定义为 $i$ 的系数，包含符号

正确做法:

$Im (3 - 2 i) = - 2$

错误做法:

复数除法时，仅分子乘以分母的共轭

原因:

这会改变表达式的值，相当于给整个分数乘以了共轭

正确做法:

始终将分子分母同时乘以同一个共轭，保持等式成立

错误做法:

对于 $z = - 1 + i$ ，直接使用计算器输出的 $tan^{- 1} (\frac{1}{- 1}) = - \frac{π}{4}$ 作为辐角

原因:

点 $(- 1, 1)$ 位于第二象限，而 $tan^{- 1}$ 的输出范围仅为 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$

正确做法:

给计算器结果加上 $π$ ，得到正确辐角 $\frac{3 π}{4}$

错误做法:

极坐标形式中写出负模 $r = - 2$

原因:

模是到原点的距离，因此始终非负，负号可以归入辐角中

正确做法:

使用 $r \geq 0$ ，并给辐角加上 $π$ 来处理负坐标

5. 速查表

概念	直角坐标形式 $z = a + bi$	极坐标形式 $z = r (cos θ + i sin θ)$
模	$a^{2} + b^{2}$	$r$
共轭	$a - bi$	$r (cos (- θ) + i sin (- θ))$
加法	分别相加实部和虚部	先转换为直角坐标形式
乘法	展开二项式，替换 $i^{2} = - 1$	$r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2}))$
除法	乘以分母的共轭	$\frac{r _{1}}{r _{2}} (cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2}))$
辐角	$tan θ = \frac{b}{a}$ （根据象限调整）	$θ$ （直接给出）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
复数除法化简
2022 · 2
直角坐标形式转极坐标形式

下一步

掌握复数的定义、运算和极坐标形式是学习本单元后续小节的关键基础：使用棣莫弗定理求复数的根，以及求解带复根的高次多项式。该知识点经常出现在IB考试的Paper 1（不允许计算器）和Paper 2（允许计算器）中，你在这里学到的技能也会应用到课程后续的高级三角恒等式问题中。