# 复数：定义、运算与极坐标形式

> IB 数学 AI HL · 第一单元：数与代数
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本小节介绍复数的基本概念、基本算术运算，以及直角坐标形式与极坐标形式之间的转换。它是求解高次多项式和高级三角问题的基础工具，在IB AI HL考试中经常考查。

**先修:** 二项式的基本代数运算; 单位圆三角学与反正切函数

## 学习目标

- 定义复数及其直角坐标形式的核心组成部分
- 对直角坐标形式的复数进行所有标准算术运算
- 正确进行复数直角坐标形式与极坐标形式的相互转换
- 应用模与辐角的性质计算极坐标形式下复数的乘积与商

## 定义与直角坐标形式

**复数（直角坐标形式）** — 形式为$a + bi$的数，其中$a$和$b$为实数，且满足$i^2 = -1$。$a = \text{Re}(z)$是实部，$b = \text{Im}(z)$是虚部。

*记法:* z = a + bi

*例:* 对于$z = 3 - 2i$，$\text{Re}(z) = 3$，$\text{Im}(z) = -2$

所有复数都可以在复平面上表示为点$(a, b)$，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

**例题:** 将$z = i(4 - 2i)$化简为直角坐标形式后，求$\text{Re}(z)$和$\text{Im}(z)$。

1. 利用$i^2 = -1$展开乘积：
2. $$i(4 - 2i) = 4i - 2i^2 = 4i - 2(-1) = 2 + 4i$$
3. 对比$a + bi$的形式得到各分量：
4. $\text{Re}(z) = 2$，$\text{Im}(z) = 4$

> **考试提示:** 在确定实部和虚部之前，请务必先完全化简表达式，不要忘记虚部的符号。

## 复数的运算（直角坐标形式）

复数的算术运算遵循与实数相同的规则，额外需要利用$i^2 = -1$化简。加减法和乘法运算都很直接，而除法需要用到复共轭。

**复共轭** — 对于$z = a + bi$，其共轭为$\bar{z} = a - bi$。乘积$z\bar{z} = a^2 + b^2$，始终为正实数。该性质可让我们在复数除法中对分母有理化。

*记法:* \bar{z}

*例:* $1 - i$的共轭是$1 + i$，且$(1 - i)(1 + i) = 2$

**例题:** 将$\frac{3 + 2i}{1 - 2i}$化简为直角坐标形式$a + bi$。

1. 1. 求分母的共轭：$\overline{1 - 2i} = 1 + 2i$
2. 2. 将分子分母同时乘以该共轭，保持表达式值不变：
3. $$\frac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}$$
4. 3. 展开并化简分母：
5. $$(1)^2 - (2i)^2 = 1 - 4(-1) = 5$$
6. 4. 展开并化简分子：
7. $$3(1) + 3(2i) + 2i(1) + 2i(2i) = 3 + 6i + 2i + 4i^2 = 3 + 8i - 4 = -1 + 8i$$
8. 5. 除以分母得到最终结果：
9. $$\frac{-1 + 8i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$$

## 复数的极坐标形式

利用复平面上的极坐标系，我们可以将任意非零复数表示为模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）的形式。这种形式可以简化多个复数的乘除运算。

**极坐标（模-辐角）形式** — 其中$r = |z| \geq 0$为模，$\theta = \text{arg}(z)$为辐角，通常取主值范围$-\pi < \theta \leq \pi$。对于任意直角坐标形式的复数$a + bi$，有$r = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\tan\theta = \frac{b}{a}$。

*记法:* z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

**例题:** 将$z = -1 + i$从直角坐标形式转换为极坐标形式。

1. 1. 计算模$r$：
2. $$r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$$
3. 2. 确定$z$所在象限：$(-1, 1)$位于第二象限。
4. 3. 计算得$\tan\theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{-1} = -1$，参考角为$\frac{\pi}{4}$，调整到第二象限得到：
5. $$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$
6. 4. 写出最终极坐标形式：
7. $$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

对于两个极坐标形式复数的乘积和商，我们使用以下性质：若$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则：

- $z_1z_2 = r_1r_2\left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)$
- $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right)$

> **考试提示:** 计算辐角时，请务必确认复数所在的象限。计算器中的反正切函数只返回第一和第四象限的结果，因此对于第二和第三象限的点需要加上$\pi$。

## 常见错误

- **错误做法:** 忽略负号，错误得到$\text{Im}(3 - 2i) = 2$
  - 原因: 虚部定义为$i$的系数，包含符号
  - 正确做法: $\text{Im}(3 - 2i) = -2$
- **错误做法:** 复数除法时，仅分子乘以分母的共轭
  - 原因: 这会改变表达式的值，相当于给整个分数乘以了共轭
  - 正确做法: 始终将分子分母同时乘以同一个共轭，保持等式成立
- **错误做法:** 对于$z = -1 + i$，直接使用计算器输出的$\tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = -\frac{\pi}{4}$作为辐角
  - 原因: 点$(-1, 1)$位于第二象限，而$\tan^{-1}$的输出范围仅为$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$
  - 正确做法: 给计算器结果加上$\pi$，得到正确辐角$\frac{3\pi}{4}$
- **错误做法:** 极坐标形式中写出负模$r = -2$
  - 原因: 模是到原点的距离，因此始终非负，负号可以归入辐角中
  - 正确做法: 使用$r \geq 0$，并给辐角加上$\pi$来处理负坐标

## 速查表

| 概念 | 直角坐标形式 $z=a+bi$ | 极坐标形式 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ |
| --- | --- | --- |
| 模 | $\sqrt{a^2+b^2}$ | $r$ |
| 共轭 | $a - bi$ | $r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))$ |
| 加法 | 分别相加实部和虚部 | 先转换为直角坐标形式 |
| 乘法 | 展开二项式，替换$i^2=-1$ | $r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$ |
| 除法 | 乘以分母的共轭 | $\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))$ |
| 辐角 | $\tan\theta = \frac{b}{a}$（根据象限调整） | $\theta$（直接给出） |

## 下一步

掌握复数的定义、运算和极坐标形式是IB AI HL中进一步学习复数的关键基础。该知识点经常出现在IB考试的Paper 1（不允许计算器）和Paper 2（允许计算器）中，你在这里学到的技能也会应用到课程后续的高级三角恒等式问题中。

- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-overview/)

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