作为多项式根的复数
IB 数学：应用与解释 HL· 1.13· 15 分钟阅读
1. 共轭根定理★★☆☆☆⏱ 5 min
对于任意仅含实系数的多项式，如果非实复数是根，那么它的复共轭也一定是根。也就是说，实系数多项式的非实复根总是成对出现的共轭对。
共轭根定理
For with real coefficients
如果是的根，那么也是该方程的根
例:
如果是根，那么可以确定也一定是根
三次多项式在处有一个根，求另外两个根。
- 1
根据共轭根定理，由于是实系数多项式，的共轭也一定是根。
- 2
将两个复根对应的一次因式相乘：
- 3
- 4
将因式分解为，其中是第三个实根。展开后比较系数：
- 5
- 6
比较常数项：。验证项系数：，与原多项式一致。
- 7
因此另外两个根为：
2. 求多项式的所有根★★★☆☆⏱ 5 min
已知实系数多项式的一个非实复根后，你可以利用共轭根定理得到第二个根，由这两个根构造二次因式，将原多项式除以该二次式，再求解剩余的商式得到其余所有根。
测试你对核心规则的理解：
一个四次（次数为4）实系数多项式已知一个非实复根，它总共有多少个非实复根？
2
3
4
无法确定
显示答案
2 —正确！非实复根总是成对出现，因此总共有2个非实根，另外两个根是实根。
已知是根，求的所有根。
- 1
根据共轭根定理，也一定是根。
- 2
将两个复根对应的一次因式相乘得到二次因式：
- 3
- 4
将除以得到剩余的二次因式：
- 5
- 6
对剩余的二次多项式因式分解：
- 7
所有根为：、和（重数为2）。
3. 由已知根构造多项式★★★☆☆⏱ 5 min
如果你要构造实系数多项式，给定的根集合包含一个或多个非实复根，你首先需要将每个非实根的共轭添加到根列表中，然后将所有对应的一次因式相乘得到完整的多项式。
求首一三次实系数多项式（首项系数为1），该多项式的根为和，将答案写成展开形式。
- 1
由于该多项式是实系数，且有非实根，因此也一定是根。现在我们得到了全部三个根：、、。
- 2
将多项式写成因式分解形式：
- 3
- 4
先乘复根对应的因式：
- 5
- 6
再乘实根对应的一次因式：
- 7
- 8
这就是要求的首一三次多项式。
4. 常见陷阱
错误做法:
对复系数多项式应用共轭根定理。
原因:
该定理仅保证实系数多项式的根才会以共轭对形式出现。
正确做法:
仅当多项式明确说明是实系数时才使用共轭根定理，在IB AI HL的题目中，多项式默认都是实系数的。
错误做法:
展开时符号错误，最终得到而不是。
原因:
，因此，这是一个常见的符号错误，会改变整个多项式。
正确做法:
记住简化形式：，前一定是加号。
错误做法:
断言实系数奇次多项式的所有根都是实根。
原因:
奇次多项式只需要至少有一个实根，剩余偶数个根可以是非实共轭对。
正确做法:
奇次多项式至少有一个实根，但不要假设所有根都是实根。
错误做法:
找到给定复根的共轭后就停止计算，忘记检查重根。
原因:
根可以重复，即使复根也可以，因此你必须对整个多项式完全因式分解才能得到所有根。
正确做法:
除以共轭对得到的二次式后，总是要对剩余商式完全因式分解，以考虑重根的情况。
5. 速查表
规则 | 应用/公式 |
|---|---|
共轭根定理（实系数多项式） | 如果是根，也一定是根 |
共轭因式乘积 | |
实系数奇次多项式 | 至少有1个实根，其余非实根成对出现 |
实系数偶次多项式 | 可以有0个实根，所有非实根成对出现 |
根的总数 | 次数 = 计重数共个根 |
真题中的出现
AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。
- 2021 · 1
已知一个复根，求所有根
- 2023 · 1
由复根构造多项式
深入阅读
下一步
本主题是基础代数技能，你会在整个IB AI HL课程中用到它。在课程后续，你会将共轭根定理应用于线性递推关系和二阶微分方程的特征方程求根，并且它是Paper 1中经常考察的主题。掌握这个概念能加深你对多项式结构以及实数和复数性质的理解，这对所有涉及多项式和方程求解的其他主题都有帮助。