二项式展开

IB 数学分析与方法 HL· 1.8 二项式展开· 20 分钟阅读

1. 二项式定理与系数计算★★☆☆☆⏱ 7 min

📘 定义

二项式定理

对于正整数 $n$

$(a + b)^{n}$ 展开为所有 $k$ 从 $0$ 到 $n$ 的 $(k n) a^{n - k} b^{k}$ 项之和

例:

当 $n = 2$ 时： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

计算二项式系数有两种常用方法：构造帕斯卡三角形，或直接使用组合公式计算： $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ 。帕斯卡三角形的构造方法是：首行为1，之后每个新数等于它上方两个数之和。从0开始计数的第 $n$ 行给出 $(a + b)^{n}$ 的系数。

📐 例题

用帕斯卡三角形展开 $(x + 2)^{3}$

1
当 $n = 3$ ，我们使用帕斯卡三角形的第3行，即 $[1, 3, 3, 1]$
2
写出展开式的所有项：
3
$1 \cdot x^{3} \cdot 2^{0} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2^{1} + 3 \cdot x^{1} \cdot 2^{2} + 1 \cdot x^{0} \cdot 2^{3}$
4
化简每一项得到完整展开式：
5
$x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

2. 求特定项★★★☆☆⏱ 8 min

大多数考试题目不要求你展开整个二项式，而是要求出 $x$ 某次幂的系数或特定项。我们可以直接利用通项公式求解，无需完整展开。

📘 定义

二项式展开的通项

对于 $(a + b)^{n}$ ，第 $(k + 1)$ 项（从 $k = 0$ 开始计数）为： $T_{k + 1} = (k n) a^{n - k} b^{k}$

例:

在 $(x + 3)^{5}$ 中，第3项对应 $k = 2$ ，因此 $T_{3} = 90 x^{3}$

📐 例题

求 $(2 x - 1)^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数

1
已知 $n = 6$ ， $a = 2 x$ ， $b = - 1$ 。我们需要 $x$ 的次数为4，因此 $n - k = 4 ⟹ k = 2$
2
代入通项公式：
3
$T_{3} = \binom{6}{2} (2x)^{4} (-1)^2$
4
逐步计算系数：
5
$\binom{6}{2} = 15, \quad (2)^4 = 16, \quad (-1)^2 = 1$
6
相乘得到最终系数： $15 \times 16 \times 1 = 240$

Exam tip:

记住第一项对应 $k = 0$ ，因此第 $m$ 项对应 $k = m - 1$ ，而非 $k = m$

3. 二项式展开用于近似计算★★★☆☆⏱ 5 min

二项式展开可用于在不使用计算器的情况下，求出非常接近1的数的幂的近似值。这是因为小数的高次幂会变得非常小，可以忽略不计。

📐 例题

使用二项式展开近似计算 $1.0 2^{5}$ ，结果保留3位小数

1
将 $1.0 2^{5}$ 改写为 $(1 + 0.02)^{5}$ 并展开：
2
$(1 + 0.02)^5 = \binom{5}{0}1^5(0.02)^0 + \binom{5}{1}1^4(0.02)^1 + \binom{5}{2}1^3(0.02)^2 + \binom{5}{3}1^2(0.02)^3 + ...$
3
计算每一项：
4
$= 1 + 0.1 + 0.004 + 0.00008 + ...$
5
第三项之后的所有项都小于0.0005，不影响第三位小数，四舍五入得到：
6
$1.02^5 \approx 1.104$

4. 常见陷阱

错误做法:

从 $k = 1$ 而非 $k = 0$ 开始计数项，因此求第 $m$ 项时错误使用 $k = m$

原因:

展开式的第一项对应 $k = 0$ ，因此项数总是比 $k$ 的值大1

正确做法:

求展开式的第 $m$ 项时始终使用 $k = m - 1$

错误做法:

忘记将变量的系数提升到正确幂次，例如在求 $(2 x - 1)^{6}$ 中 $x^{4}$ 的系数时仅得到 $(2 6)$

原因:

整个变量项（包括其系数）都要提升到 $n - k$ 次幂，而不只是变量本身

正确做法:

计算幂项时始终包含 $x$ 的系数

错误做法:

忽略二项式第二项的负号

原因:

对于 $(a - b)^{n}$ ，第二项 $b$ 是负数，因此 $k$ 为奇数时会得到负项

正确做法:

对于 $(a - c)^{n}$ ，始终写成 $b = - c$ ，并在提升到 $k$ 次幂时包含负号

错误做法:

对负指数或分数指数使用正整数二项式公式

原因:

该公式仅对正整数 $n$ 有效；对其他指数使用会得到错误结果

正确做法:

IB AI HL大纲仅要求正整数 $n$ 的二项式展开，因此你不需要在其他指数类型中使用该公式

5. 速查表

概念	公式/规则
二项式定理	$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$
通项	$T_{k + 1} = (k n) a^{n - k} b^{k}$ , $k$ starts at 0
二项式系数	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
帕斯卡三角形	每个数等于它上方两个数之和
近似计算	忽略 $(1 + b)^{n}$ 中 $b$ 的较小高次项

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求二项式展开的第4项
2022 · 1
通过二项式展开近似求值
2023 · 2
求特定项的系数

深入阅读

video二项式定理与帕斯卡三角形可视化介绍系数规律

下一步

二项式展开是IB数学AI HL的基础代数工具，应用于多个主题，包括二项概率分布、多项式建模和近似数值计算。掌握快速求特定项和系数的技能，会为依赖该子主题作为前提的多步骤考试问题节省大量时间。本主题仅涵盖正整数指数的展开，符合AI HL大纲的所有要求。你现在可以将该知识应用于组合学、概率和多项式的相关主题。