算术与几何序列和级数

IB 数学 AI HL· 5 分钟阅读

1. 等差数列★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

等差数列

$u_{n}$ = nth term, $d$ = common difference

相邻项之间的差值为常数（称为公差）的序列。

例:

3, 7, 11, 15, ... 的公差 $d = 4$

等差数列的通项公式由项递增或递减的线性规律推导而来：

u_n = u_1 + (n-1)d

📐 例题

已知等差数列的第5项为22，第10项为47，求第15项。

1
使用通项公式建立联立方程：
2
$\begin{align*} u_1 + 4d &= 22 \\ u_1 + 9d &= 47 \end{align*}$
3
用第二个方程减去第一个方程消去 $u_{1}$ ：
4
$5d = 25 \implies d = 5$
5
代入 $d = 5$ 回求首项：
6
$u_1 + 4(5) = 22 \implies u_1 = 2$
7
计算第15项：
8
$u_{15} = 2 + (15-1)(5) = 72$

Exam tip:

请始终记住：第1项到第n项之间的公差个数是 $(n - 1)$ ，不是 $n$ 。

2. 等差级数★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

等差级数

$S_{n}$ = sum of first n terms

等差数列前n项的和。

例:

3, 7, 11, 15 前4项的和为 $3 + 7 + 11 + 15 = 36$

求和公式通过首项和末项配对推导而来，每对的和始终为常数，共有两种等价形式：

S_n = \frac{n}{2}\left(u_1 + u_n\right) = \frac{n}{2}\left(2u_1 + (n-1)d\right)

📐 例题

求数列 $7, 4, 1, - 2, ...$ 的前30项之和。

1
确定参数： $u_{1} = 7$ , $d = - 3$ , $n = 30$
2
代入求和公式：
3
$S_{30} = \frac{30}{2}\left(2(7) + (30-1)(-3)\right)$
4
化简得到最终结果：
5
$15\left(14 - 87\right) = 15(-73) = -1095$

3. 等比数列★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

📘 定义

等比数列

$u_{n}$ = nth term, $r$ = common ratio

每一项与前一项的比值为常数公比 $r$ 的序列。

例:

2, 6, 18, 54, ... 的公比 $r = 3$

重复乘以公比，推导得到等比数列的指数型通项公式：

u_n = u_1 r^{n-1}

📐 例题

已知等比数列的第3项为12，第6项为96，求首项。

1
为两个已知项列出方程：
2
$\begin{align*} u_1 r^2 &= 12 \\ u_1 r^5 &= 96 \end{align*}$
3
第二个方程除以第一个方程消去 $u_{1}$ ：
4
$r^3 = \frac{96}{12} = 8 \implies r = 2$
5
代入 $r = 2$ 回求 $u_{1}$ ：
6
$u_1 (2)^2 = 12 \implies 4u_1 = 12 \implies u_1 = 3$

Exam tip:

公比可以为负数，此时数列项正负交替。

4. 等比级数（有限与无穷）★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

📘 定义

等比级数

$S_{n}$ = sum of first n terms, $S_{\infty}$ = infinite sum

等比数列前n项的和，只有收敛级数存在无穷和。

有限等比级数的求和公式为：

S_n = \frac{u_1(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1

只有当公比的绝对值小于1时，无穷等比级数才会收敛到有限和。满足该条件时，无穷和公式为：

S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}, \quad |r| < 1

📐 例题

求级数 $18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} + ...$ 的无穷和。

1
确定首项 $u_{1} = 18$ ，计算公比 $r = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
2
检查收敛性： $∣ \frac{1}{3} ∣ < 1$ ，因此存在无穷和
3
代入无穷和公式：
4
$S_\infty = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27$

5. 常见陷阱

错误做法:

在通项公式中使用 $n$ 而非 $n - 1$

原因:

首项对应n=1，因此指数或差值始终比项数少1

正确做法:

请始终在等比通项的指数和等差通项的差值中使用 $(n - 1)$

错误做法:

跳过无穷等比级数的收敛性检查

原因:

无穷和公式仅适用于 $∣ r ∣ < 1$ ，未确认收敛性会导致失分

正确做法:

使用无穷和公式前，请务必说明 $∣ r ∣ < 1$

错误做法:

混淆等差和等比的求和公式

原因:

两种公式结构不同，用错会导致整题零分

正确做法:

请记住：等差是线性（用公差 $d$ ），等比是指数型（用公比 $r$ ）

错误做法:

公比为负时出现符号错误

原因:

负数的奇次幂和偶次幂符号不同，会导致 $r^{n}$ 符号错误，进而求和结果错误

正确做法:

单独计算 $r^{n}$ ，代入求和公式前检查符号

错误做法:

两个已知项之间的项数统计错误

原因:

部分学生计算项位置差时多算1

正确做法:

对于两个已知项，指数/位置差始终为 $n_{2} - n_{1}$

6. 速查表

性质	等差	等比
第n项	$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$	$u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$
公差/公比	$d = u_{n + 1} - u_{n}$	$r = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
前n项和	$S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$	$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, r \neq = 1$
无穷和	不存在有限和（除非 $d = 0$ ）	$S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}, ∣ r ∣ < 1$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

本子主题是IB AI HL中许多核心主题的基础，包括金融数学（复利就是等比数列的应用）、指数增长与衰减模型，以及递推关系建模。序列和级数也经常与对数结合，因为求解等比数列的项数 $n$ 需要对数运算。掌握这些公式和解题规律能帮助你应对IB AI HL考试中占比很大的建模类问题。