# 算术与几何序列和级数

> IB 数学 AI HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-arithmetic-and-geometric-sequences-and/

本子主题涵盖等差数列和等比数列及其级数的核心性质，包括通项公式、有限和与无穷和的计算，以及IB AI HL考试中常见的应用问题。

**先修:** 基础代数运算; 指数与对数

## 学习目标

- 区分等差数列和等比数列及其对应级数
- 计算两种数列的第n项
- 求有限等差级数和等比级数的和
- 计算收敛无穷等比级数的和
- 解决IB风格的涉及序列的应用问题

## 等差数列

**等差数列** — 相邻项之间的差值为常数（称为公差）的序列。

*记法:* $u_n$ = nth term, $d$ = common difference

*例:* 3, 7, 11, 15, ... 的公差$d = 4$

等差数列的通项公式由项递增或递减的线性规律推导而来：

$$u_n = u_1 + (n-1)d$$

**例题:** 已知等差数列的第5项为22，第10项为47，求第15项。

1. 使用通项公式建立联立方程：
2. $$\begin{align*} u_1 + 4d &= 22 \\ u_1 + 9d &= 47 \end{align*}$$
3. 用第二个方程减去第一个方程消去$u_1$：
4. $$5d = 25 \implies d = 5$$
5. 代入$d=5$回求首项：
6. $$u_1 + 4(5) = 22 \implies u_1 = 2$$
7. 计算第15项：
8. $$u_{15} = 2 + (15-1)(5) = 72$$

> **考试提示:** 请始终记住：第1项到第n项之间的公差个数是$(n-1)$，不是$n$。

*计算器:* allowed

## 等差级数

**等差级数** — 等差数列前n项的和。

*记法:* $S_n$ = sum of first n terms

*例:* 3, 7, 11, 15 前4项的和为$3+7+11+15 = 36$

求和公式通过首项和末项配对推导而来，每对的和始终为常数，共有两种等价形式：

$$S_n = \frac{n}{2}\left(u_1 + u_n\right) = \frac{n}{2}\left(2u_1 + (n-1)d\right)$$

**例题:** 求数列$7, 4, 1, -2,...$的前30项之和。

1. 确定参数：$u_1 = 7$, $d = -3$, $n = 30$
2. 代入求和公式：
3. $$S_{30} = \frac{30}{2}\left(2(7) + (30-1)(-3)\right)$$
4. 化简得到最终结果：
5. $$15\left(14 - 87\right) = 15(-73) = -1095$$

*计算器:* allowed

## 等比数列

**等比数列** — 每一项与前一项的比值为常数公比$r$的序列。

*记法:* $u_n$ = nth term, $r$ = common ratio

*例:* 2, 6, 18, 54, ... 的公比$r = 3$

重复乘以公比，推导得到等比数列的指数型通项公式：

$$u_n = u_1 r^{n-1}$$

**例题:** 已知等比数列的第3项为12，第6项为96，求首项。

1. 为两个已知项列出方程：
2. $$\begin{align*} u_1 r^2 &= 12 \\ u_1 r^5 &= 96 \end{align*}$$
3. 第二个方程除以第一个方程消去$u_1$：
4. $$r^3 = \frac{96}{12} = 8 \implies r = 2$$
5. 代入$r=2$回求$u_1$：
6. $$u_1 (2)^2 = 12 \implies 4u_1 = 12 \implies u_1 = 3$$

> **考试提示:** 公比可以为负数，此时数列项正负交替。

*计算器:* allowed

## 等比级数（有限与无穷）

**等比级数** — 等比数列前n项的和，只有收敛级数存在无穷和。

*记法:* $S_n$ = sum of first n terms, $S_\infty$ = infinite sum

有限等比级数的求和公式为：

$$S_n = \frac{u_1(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1$$

只有当公比的绝对值小于1时，无穷等比级数才会收敛到有限和。满足该条件时，无穷和公式为：

$$S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$$

> **warning**
>
> 切勿在未检查$|r| < 1$的情况下使用无穷和公式。如果$|r| \geq 1$，项会无限制增长，不存在有限和。

**例题:** 求级数$18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} + ...$的无穷和。

1. 确定首项$u_1 = 18$，计算公比$r = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
2. 检查收敛性：$|\frac{1}{3}| < 1$，因此存在无穷和
3. 代入无穷和公式：
4. $$S_\infty = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在通项公式中使用$n$而非$n-1$
  - 原因: 首项对应n=1，因此指数或差值始终比项数少1
  - 正确做法: 请始终在等比通项的指数和等差通项的差值中使用$(n-1)$
- **错误做法:** 跳过无穷等比级数的收敛性检查
  - 原因: 无穷和公式仅适用于$|r| < 1$，未确认收敛性会导致失分
  - 正确做法: 使用无穷和公式前，请务必说明$|r| < 1$
- **错误做法:** 混淆等差和等比的求和公式
  - 原因: 两种公式结构不同，用错会导致整题零分
  - 正确做法: 请记住：等差是线性（用公差$d$），等比是指数型（用公比$r$）
- **错误做法:** 公比为负时出现符号错误
  - 原因: 负数的奇次幂和偶次幂符号不同，会导致$r^n$符号错误，进而求和结果错误
  - 正确做法: 单独计算$r^n$，代入求和公式前检查符号
- **错误做法:** 两个已知项之间的项数统计错误
  - 原因: 部分学生计算项位置差时多算1
  - 正确做法: 对于两个已知项，指数/位置差始终为$n_2 - n_1$

## 速查表

| 性质 | 等差 | 等比 |
| --- | --- | --- |
| 第n项 | $u_n = u_1 + (n-1)d$ | $u_n = u_1 r^{n-1}$ |
| 公差/公比 | $d = u_{n+1} - u_n$ | $r = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ |
| 前n项和 | $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$ | $S_n = \frac{u_1(1-r^n)}{1-r}, r \neq 1$ |
| 无穷和 | 不存在有限和（除非$d=0$） | $S_\infty = \frac{u_1}{1-r}, \|r\|<1$ |

## 下一步

本子主题是IB AI HL中许多核心主题的基础，包括金融数学（复利就是等比数列的应用）、指数增长与衰减模型，以及递推关系建模。序列和级数也经常与对数结合，因为求解等比数列的项数$n$需要对数运算。掌握这些公式和解题规律能帮助你应对IB AI HL考试中占比很大的建模类问题。

- [指数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)
- [等比数列与级数的金融应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/)
- [对数运算法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-laws-of-logarithms/)

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