函数 (AI HL) (Functions (AI HL)) — IB Math AI HL AI HL 学习指南

适合谁：IB Math AI HL 参加 IB Math: Applications & Interpretation HL 的考生。

覆盖内容：线性/二次/指数/对数/正弦模型、分段函数、情境下复合与反函数、建模优化四大核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学；熟悉应用题与计算工具。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AI HL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是函数（AI HL）？

函数是从输入集合**定义域（domain）到输出集合值域（range）**的映射，每个输入对应唯一的输出，核心规则是“多对一合法、一对多不合法”。和AA（分析与方法）侧重纯代数推导不同，AI HL的函数考点几乎全部围绕实际情境建模展开，占整个考纲分值的12%-18%，卷1（无计算器）和卷2（可带计算器）均会出题，常和微积分、金融数学、统计回归结合出综合题。

2. 线性、二次、指数、对数、正弦模型

本模块是AI HL函数的核心基础，所有模型均对应特定现实场景，考官会直接给出或要求你根据数据拟合对应模型：

1. 线性模型（linear model）：通用形式$y=mx+c$，$m$为斜率（变化率），$c$为纵截距，适用于变化率恒定的场景，比如匀速运动、固定成本+可变成本的总成本计算。
2. 二次模型（quadratic model）：通用形式$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$，图像为抛物线，$a>0$开口向上有最小值，$a<0$开口向下有最大值，适用于存在单峰/单谷的场景，比如抛体运动轨迹、利润随销量的变化。
3. 指数模型（exponential model）：通用形式$y=A{b}^{kx}+c$，$b>0且b\ne 1$，$k>0$为增长模型，$k<0$为衰减模型，适用于增长率/衰减率恒定的场景，比如复利计算、细菌繁殖、放射性衰变。
4. 对数模型（logarithmic model）：通用形式$y=A\ln (kx)+c$或$y=A{\log }_{10}(kx)+c$，增长速度随自变量增大逐渐趋缓，适用于pH值计算、信息传播饱和度、震级计算等场景。
5. 正弦模型（sinusoidal model）：通用形式$y=A\sin (B(x-C))+D$，其中$A$为振幅（波动幅度），$\frac{2\pi }{B}$为周期，$C$为水平平移量，$D$为中轴（平均水平），适用于周期性波动场景，比如潮汐高度、四季温度、交流电电压变化。

范例：某城市季度平均温度符合正弦模型$T(m)=12\sin \left(\frac{\pi }{6}(m-3)\right)+18$，$m$为月份（1月对应$m=1$），则7月平均温度为$T(7)=12\sin \left(\frac{4\pi }{6}\right)+18=6\sqrt{3}+18\approx 28.4℃$。

3. 分段函数（piecewise function）

分段函数是在定义域不同区间对应不同表达式的函数，适用于不同区间规则不同的场景，比如阶梯电价、个税计算、网约车定价、快递公司运费等。

核心注意点

• 分段点的区间开闭必须严格对应题目的“不超过”“超过”“不足”等表述，否则会出现计算错误；
• 分段点处函数可能连续也可能间断，应用题中要先判断自变量属于哪个区间再代入对应表达式计算。

范例：某地个税计算规则为：月应纳税所得额≤5000元部分税率3%；5000<所得额≤20000元部分税率10%；超过20000元部分税率20%。写出个税$T$关于应纳税所得额$x$的函数： $$T(x)=\begin{cases} 0.03x & 0\leq x\leq5000 \ 0.035000 + 0.1(x-5000) & 5000<x\leq20000 \ 0.03*5000 + 0.1*15000 + 0.2(x-20000) & x>20000 \end{cases}$$ 若某人应纳税所得额为12000元，代入第二个式子得$T=150 + 0.17000=850$元。

4. 情境下的复合函数与反函数

复合函数（composite function）

指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，记为$(f\circ g)(x)=f(g(x))$，AI HL中常见于链式建模场景：比如先建立销量和价格的函数，再建立利润和销量的函数，复合后直接得到利润和价格的函数。核心易错点是不要搞反复合顺序，$f(g(x))$是先算$g(x)$再代入$f$，和$g(f(x))$结果完全不同。

反函数（inverse function）

记为$f^{-1}(x)$，将原函数的输入和输出互换，仅当原函数为一一映射时存在反函数。应用题中反函数的核心作用是已知输出求对应输入：比如已知利润求对应销量、已知复利终值求存款年限、已知潮汐高度求对应时间。反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。

范例：某奶茶店的销量$q(p)=300-10p$（$p$为单价，单位：元），利润$L(q)=4q-200$。复合得到利润关于单价的函数：$L(p)=4(300-10p)-200=1000-40p$。其反函数为$p=\frac{1000-L}{40}$，若目标利润为400元，则对应单价$p=\frac{1000-400}{40}=15$元。

5. 建模中的优化（optimisation）

优化指在给定约束下求目标函数的最大值或最小值，是AI HL函数部分最高频的综合考点，几乎每年必考应用题。常用求解方法有3种：

1. 二次函数直接用顶点公式$x=-\frac{b}{2a}$求最值；
2. 复杂非线性函数用GDC（图形计算器）直接定位极值点；
3. 结合后续微积分知识，求导找临界点再判断最值。 考官常考陷阱：极值点必须在题目的定义域范围内才有效，若计算出的极值点超出定义域（比如单价为负、销量为负），则最值出现在定义域的端点处。

范例：某农场的矩形围栏总长100米，求围栏的最大面积。设矩形长为$x$米，则宽为$50-x$米，面积$S(x)=x(50-x)=-x^2+50x$，顶点在$x=25$米，最大面积为$25\ast 25=625$平方米。

6. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：分段函数计算时搞混区间，比如把用电量200度（属于第一档）代入第二档公式计算。犯错原因：审题时忽略“≤”“<”的边界表述，对分段点的归属判断错误。正确做法：代入计算前先核对自变量落在哪个区间，不确定时可以先代入边界值验证两个区间的结果是否连续。
2. 错误做法：复合函数时搞反顺序，把$f(g(x))$算成$g(f(x))$。犯错原因：只记代数符号，忽略函数的物理意义，错误把后序环节的输出当成前序的输入。正确做法：复合前先写清每个函数的自变量和因变量的含义，确保前一个函数的输出和后一个函数的输入单位、物理意义完全匹配。
3. 错误做法：求反函数时直接交换$x$和$y$，不验证原函数是否为一一映射，也不调整定义域。犯错原因：只记代数操作步骤，忽略反函数的应用逻辑，比如二次函数整个定义域没有反函数，仅在单调区间内存在反函数。正确做法：应用题求反函数前先确认原函数在对应定义域内单调，反函数的定义域要和原函数的值域完全一致。
4. 错误做法：优化题直接计算极值点，忽略实际情境的约束，比如算出单价为-10元还当成有效解。犯错原因：只顾代数计算，脱离应用题的现实规则。正确做法：列出目标函数后先写清定义域的约束（比如$x\ge 0$，$x\le 100$等），求出极值点后先判断是否在定义域内，若不在则取端点值计算最值。

7. 练习题 (IB Math AI HL 风格)

题1

题干：某海域的潮汐高度符合正弦模型$h(t)=2.2\sin \left(\frac{\pi }{6}(t-2)\right)+3.1$，其中$h$为高度（单位：米），$t$为0点之后的小时数。求：(a) 潮汐的最大高度和波动周期；(b) 上午8点的潮汐高度（保留2位小数）。 解答： (a) 振幅$A=2.2$，中轴$D=3.1$，因此最大高度为$3.1+2.2=5.3$米；$B=\frac{\pi }{6}$，周期$T=\frac{2\pi }{B}=12$小时。 (b) 上午8点对应$t=8$，代入得： $$h(8)=2.2\sin \left(\frac{\pi }{6}\ast 6\right)+3.1=2.2\sin \pi +3.1=3.10米$$

题2

题干：某快递公司的省内运费规则如下：包裹重量≤1kg，收费8元；1<重量≤5kg，超出1kg部分每公斤2元；重量>5kg，超出5kg部分每公斤1.5元。(a) 写出运费$F$关于重量$x$（kg）的分段函数；(b) 某用户运费为21元，求包裹重量。 解答： (a) 分段函数化简后为： $$F(x)=\begin{cases} 8 & 0\leq x\leq1 \ 2x +6 & 1<x\leq5 \ 1.5x +8.5 & x>5 \end{cases}$$ (b) 重量为5kg时运费为$2\ast 5+6=16$元<21元，因此重量>5kg，代入第三个式子：$1.5x+8.5=21$，解得$x=\frac{12.5}{1.5}\approx 8.33kg$。

题3

题干：某厂商的成本函数为$C(q)=0.02q^2+3q+200$，$q$为产量（单位：件），收入函数为$R(q)=12q-0.01q^2$，利润$L(q)=R(q)-C(q)$，求最大利润对应的产量和最大利润。 解答： 先计算利润函数： $$L(q)=(12q-0.01q^2)-(0.02q^2+3q+200)=-0.03q^2+9q-200$$ 二次函数$a=-0.03<0$，顶点在$q=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2\ast (-0.03)}=150$件，代入得最大利润$L(150)=-0.03\ast 22500+1350-200=475$元。

8. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

9. 接下来怎么学

本章节是AI HL后续微积分建模、金融数学、统计回归等核心模块的基础，你在本章节培养的建模能力会直接影响卷2综合应用题的得分，后续你会学习用导数处理更复杂的非线性函数优化、用回归分析拟合实际数据的最优函数模型，函数的思想会贯穿整个AI HL的备考过程。 如果你在刷题过程中遇到任何函数相关的考点疑问，或者需要更多针对性的练习题和模考资源，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供个性化的解答和备考规划。