驻点、单调性与凹凸性

Q: 我必须用二阶导数测试来分类驻点吗？

不需要，任何驻点都可以用一阶导数测试。二阶导数测试只是在适用时更快捷的替代方法。

Q: 所有拐点都是驻点吗？

不是。只有驻点型拐点满足。大多数拐点的切线斜率非零，仅凹凸性发生改变。

IB 数学 AA SL· 5.7 Applications of differentiation· 20 分钟阅读

1. 单调性与递增/递减区间★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

单调函数

如果一个函数在某个区间上整体不递增或不递减，则称该函数在这个区间上单调。严格单调函数中，当 $f^{'} (x) > 0$ 时函数严格递增，当 $f^{'} (x) < 0$ 时函数严格递减。

例:

$f (x) = x^{3}$ 在全体实数上严格单调

求递增/递减区间时，你首先需要计算一阶导数 $f^{'} (x)$ ，然后找出所有临界点（即 $f^{'} (x) = 0$ 或导数无定义的点），再测试临界点之间每个区间内 $f^{'} (x)$ 的符号。

📐 例题

求 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ 的递增和递减区间

1
首先计算一阶导数：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
2
解方程 $f^{'} (x) = 0$ 得到临界点：
$3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423, 1.577$
3
测试每个区间内 $f^{'} (x)$ 的符号：
- 当 $x < 0.423$ 时： $f^{'} (0) = 2 > 0$ （递增）
- 当 $0.423 < x < 1.577$ 时： $f^{'} (1) = - 1 < 0$ （递减）
- 当 $x > 1.577$ 时： $f^{'} (2) = 2 > 0$ （递增）
4
最终结果：
$\text{Increasing: } (- infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty) \\ \text{Decreasing: } (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Exam tip:

递增/递减区间始终要写成开区间，因为端点处 $f^{'} (x) = 0$ ，函数在端点处既不递增也不递减。

2. 驻点与一阶导数测试★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

驻点

(a, f(a))

满足 $f^{'} (a) = 0$ 的点，此时切线斜率为零，函数在该点暂时保持水平。驻点可以分为局部极大值点、局部极小值点，或驻点型拐点。

如果 $f^{'} (x)$ 由正变负：局部极大值点
如果 $f^{'} (x)$ 由负变正：局部极小值点
如果 $f^{'} (x)$ 符号不变：驻点型拐点

📐 例题

对 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 的驻点进行分类

1
计算一阶导数：
$f'(x) = 3x^2 - 12$
2
解方程求驻点：
$3x^2 - 12 = 0 \implies x = -2, x = 2$
3
测试 $x = - 2$ 附近的符号变化： $f^{'} (- 3) = 15 > 0$ ， $f^{'} (0) = - 12 < 0$ 。符号由正变负，因此是局部极大值点。
4
测试 $x = 2$ 附近的符号变化： $f^{'} (0) = - 12 < 0$ ， $f^{'} (3) = 15 > 0$ 。符号由负变正，因此是局部极小值点。
5
求坐标：
$\text{Local maximum at } (-2, 16), \text{ local minimum at } (2, -16)$

Exam tip:

一阶导数测试始终适用，即使二阶导数为零或无定义时也能使用，因此当你不确定时，它是可靠的备选方法。

3. 凹凸性与拐点★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

凹凸性

当 $f^{''} (x) > 0$ 时，函数凹向上（凸函数），曲线向上弯曲。当 $f^{''} (x) < 0$ 时，函数凹向下，曲线向下弯曲。

拐点是函数凹凸性发生改变的点，必须满足两个条件：(1) $f^{''} (x) = 0$ （或导数无定义），(2) $f^{''} (x)$ 在该点两侧符号改变。

📐 例题

求 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1$ 的凹凸区间和拐点

1
计算一阶和二阶导数：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4, \quad f''(x) = 6x - 6$
2
解方程 $f^{''} (x) = 0$ ：
$6x - 6 = 0 \implies x = 1$
3
检查符号变化：当 $x < 1$ 时， $f^{''} (0) = - 6 < 0$ （凹向下）；当 $x > 1$ 时， $f^{''} (2) = 6 > 0$ （凹向上）。凹凸性发生改变，因此 $x = 1$ 是拐点。
4
求拐点的坐标：
$f(1) = 1, \text{ so inflection point at } (1, 1)$

4. 驻点的二阶导数测试★★★☆☆⏱ 5 min

二阶导数测试是对驻点分类时比一阶导数测试更快捷的替代方法，规则如下：

如果 $f^{'} (a) = 0$ 且 $f^{''} (a) < 0$ ： $x = a$ 是局部极大值点
如果 $f^{'} (a) = 0$ 且 $f^{''} (a) > 0$ ： $x = a$ 是局部极小值点
如果 $f^{'} (a) = 0$ 且 $f^{''} (a) = 0$ ：测试结果不确定，需使用一阶导数测试

📐 例题

使用二阶导数测试对 $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 的驻点分类

1
求一阶导数并找出驻点：
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2) \implies x=1, x=2$
2
计算二阶导数：
$f''(x) = 12x - 18$
3
计算每个驻点处 $f^{''}$ 的值：
$f''(1) = -6 < 0 \implies \text{ local maximum} \\ f''(2) = 6 > 0 \implies \text{ local minimum}$
4
最终结果：
$\text{Local maximum at } (1, 5), \text{ local minimum at } (2, 4)$

Exam tip:

当二阶导数测试结果不确定时，不要跳过符号检查。考官经常考查这个情况，用来抓住那些默认 $f^{''} (a) = 0$ 就一定是拐点的考生。

5. 常见陷阱

错误做法:

仅仅因为 $f^{''} (x) = 0$ 就判定该点是拐点

原因:

拐点要求 $f^{''} (x)$ 在该点两侧改变符号，当 $f^{''} (x) = 0$ 时并不总是满足这个条件

正确做法:

始终要测试点两侧 $f^{''} (x)$ 的符号，确认凹凸性发生改变

错误做法:

用闭括号书写递增/递减区间

原因:

区间端点处 $f^{'} (x) = 0$ ，因此函数在端点处既不递增也不递减

正确做法:

始终将递增/递减区间写成开区间

错误做法:

默认 $f^{''} (a) = 0$ 就意味着该点是拐点

原因:

学生经常记错二阶导数测试结果不确定时的规则

正确做法:

如果 $f^{''} (a) = 0$ ，需要测试 $f^{''} (x)$ 的符号变化确认它是拐点，并且使用一阶导数测试对驻点分类

错误做法:

混淆二阶导数测试中极大值/极小值对应的符号规则

原因:

很容易混淆哪种符号对应哪种分类

正确做法:

记住： $f^{''}$ 为负时凹向下（像皱眉，极大值）， $f^{''}$ 为正时凹向上（像杯子，极小值）

错误做法:

声称所有拐点都是驻点

原因:

拐点只要求凹凸性改变，不要求斜率为零

正确做法:

只有驻点型拐点满足 $f^{'} (x) = 0$ ；大多数拐点的斜率非零

6. 速查表

概念	核心条件	结论
严格递增	$f^{'} (x) > 0$	单调
严格递减	$f^{'} (x) < 0$	单调
局部极大值（一阶测试）	$f^{'} (x)$ 正变负	局部极大值
局部极小值（一阶测试）	$f^{'} (x)$ 负变正	局部极小值
驻点型拐点	$f^{'} (a) = 0$ ， $f^{'} (x)$ 符号不变	驻点型拐点
局部极大值（二阶测试）	$f^{'} (a) = 0$ ， $f^{''} (a) < 0$	局部极大值
局部极小值（二阶测试）	$f^{'} (a) = 0$ ， $f^{''} (a) > 0$	局部极小值
凹向上	$f^{''} (x) > 0$	向上弯曲
凹向下	$f^{''} (x) < 0$	向下弯曲
拐点	$f^{''} (x)$ 改变符号	凹凸性改变

7. 常见问题

我必须用二阶导数测试来分类驻点吗？

不需要，任何驻点都可以用一阶导数测试。二阶导数测试只是在适用时更快捷的替代方法。

所有拐点都是驻点吗？

不是。只有驻点型拐点满足 $f^{'} (x) = 0$ 。大多数拐点的切线斜率非零，仅凹凸性发生改变。

下一步

本子主题是IB AA SL微积分两个核心考核内容的基础：图像绘制和应用最优化。理解导数与图像形状的关系后，你就可以准确绘制任何多项式、有理函数或三角函数的图像，这是Paper 1和Paper 2中常见的5-7分题。它还能让你在最优化问题中找到最大值和最小值，这类问题几乎每次考试都会出现。掌握这些概念对IB所有后续微积分主题都至关重要。