# 驻点、单调性与凹凸性

> IB 数学 AA SL · IB 数学 AA SL 微积分 第5单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points-monotonicity-and-concavity/

本子主题将一阶、二阶导数与函数图像的形状联系起来。你将学习如何识别函数的递增、递减、平缓区域和弯曲方向，这是IB考试中图像绘制和最优化问题的核心技能。

**先修:** [基本函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-intro-to-differentiation/); [一阶与二阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-first-and-second-derivatives/)

## 学习目标

- 识别并分类函数的驻点
- 确定函数的递增/递减区间（单调性）
- 求凹凸区间和拐点
- 正确应用一阶和二阶导数测试

## 单调性与递增/递减区间

**单调函数** — 如果一个函数在某个区间上整体不递增或不递减，则称该函数在这个区间上单调。严格单调函数中，当$f'(x) > 0$时函数严格递增，当$f'(x) < 0$时函数严格递减。

*例:* $f(x) = x^3$在全体实数上严格单调

求递增/递减区间时，你首先需要计算一阶导数$f'(x)$，然后找出所有临界点（即$f'(x) = 0$或导数无定义的点），再测试临界点之间每个区间内$f'(x)$的符号。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$的递增和递减区间

1. 首先计算一阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$
2. 解方程$f'(x) = 0$得到临界点：

   $$3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423, 1.577$$
3. 测试每个区间内$f'(x)$的符号：
- 当$x < 0.423$时：$f'(0) = 2 > 0$（递增）
- 当$0.423 < x < 1.577$时：$f'(1) = -1 < 0$（递减）
- 当$x > 1.577$时：$f'(2) = 2 > 0$（递增）
4. 最终结果：

   $$\text{Increasing: } (-
infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty) \\ \text{Decreasing: } (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$$

> **考试提示:** 递增/递减区间始终要写成开区间，因为端点处$f'(x) = 0$，函数在端点处既不递增也不递减。

## 驻点与一阶导数测试

**驻点** — 满足$f'(a) = 0$的点，此时切线斜率为零，函数在该点暂时保持水平。驻点可以分为局部极大值点、局部极小值点，或驻点型拐点。

*记法:* (a, f(a))

1. 如果$f'(x)$由正变负：局部极大值点
2. 如果$f'(x)$由负变正：局部极小值点
3. 如果$f'(x)$符号不变：驻点型拐点

**例题:** 对$f(x) = x^3 - 12x$的驻点进行分类

1. 计算一阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 12$$
2. 解方程求驻点：

   $$3x^2 - 12 = 0 \implies x = -2, x = 2$$
3. 测试$x=-2$附近的符号变化：$f'(-3) = 15 > 0$，$f'(0) = -12 < 0$。符号由正变负，因此是局部极大值点。
4. 测试$x=2$附近的符号变化：$f'(0) = -12 < 0$，$f'(3) = 15 > 0$。符号由负变正，因此是局部极小值点。
5. 求坐标：

   $$\text{Local maximum at } (-2, 16), \text{ local minimum at } (2, -16)$$

> **考试提示:** 一阶导数测试始终适用，即使二阶导数为零或无定义时也能使用，因此当你不确定时，它是可靠的备选方法。

## 凹凸性与拐点

**凹凸性** — 当$f''(x) > 0$时，函数凹向上（凸函数），曲线向上弯曲。当$f''(x) < 0$时，函数凹向下，曲线向下弯曲。

拐点是函数凹凸性发生改变的点，必须满足两个条件：(1) $f''(x) = 0$（或导数无定义），(2) $f''(x)$在该点两侧符号改变。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的凹凸区间和拐点

1. 计算一阶和二阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4, \quad f''(x) = 6x - 6$$
2. 解方程$f''(x) = 0$：

   $$6x - 6 = 0 \implies x = 1$$
3. 检查符号变化：当$x < 1$时，$f''(0) = -6 < 0$（凹向下）；当$x > 1$时，$f''(2) = 6 > 0$（凹向上）。凹凸性发生改变，因此$x=1$是拐点。
4. 求拐点的坐标：

   $$f(1) = 1, \text{ so inflection point at } (1, 1)$$

> **warning**
>
> 一个常见错误是认为所有满足$f''(x) = 0$的点都是拐点。例如$f(x) = x^4$中，$f''(0) = 0$，但0两侧的$f''(x)$都为正，因此$x=0$不是拐点。

## 驻点的二阶导数测试

二阶导数测试是对驻点分类时比一阶导数测试更快捷的替代方法，规则如下：

1. 如果$f'(a) = 0$且$f''(a) < 0$：$x=a$是局部极大值点
2. 如果$f'(a) = 0$且$f''(a) > 0$：$x=a$是局部极小值点
3. 如果$f'(a) = 0$且$f''(a) = 0$：测试结果不确定，需使用一阶导数测试

**例题:** 使用二阶导数测试对$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$的驻点分类

1. 求一阶导数并找出驻点：

   $$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2) \implies x=1, x=2$$
2. 计算二阶导数：

   $$f''(x) = 12x - 18$$
3. 计算每个驻点处$f''$的值：

   $$f''(1) = -6 < 0 \implies \text{ local maximum} \\ f''(2) = 6 > 0 \implies \text{ local minimum}$$
4. 最终结果：

   $$\text{Local maximum at } (1, 5), \text{ local minimum at } (2, 4)$$

> **考试提示:** 当二阶导数测试结果不确定时，不要跳过符号检查。考官经常考查这个情况，用来抓住那些默认$f''(a)=0$就一定是拐点的考生。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅仅因为$f''(x) = 0$就判定该点是拐点
  - 原因: 拐点要求$f''(x)$在该点两侧改变符号，当$f''(x)=0$时并不总是满足这个条件
  - 正确做法: 始终要测试点两侧$f''(x)$的符号，确认凹凸性发生改变
- **错误做法:** 用闭括号书写递增/递减区间
  - 原因: 区间端点处$f'(x)=0$，因此函数在端点处既不递增也不递减
  - 正确做法: 始终将递增/递减区间写成开区间
- **错误做法:** 默认$f''(a)=0$就意味着该点是拐点
  - 原因: 学生经常记错二阶导数测试结果不确定时的规则
  - 正确做法: 如果$f''(a)=0$，需要测试$f''(x)$的符号变化确认它是拐点，并且使用一阶导数测试对驻点分类
- **错误做法:** 混淆二阶导数测试中极大值/极小值对应的符号规则
  - 原因: 很容易混淆哪种符号对应哪种分类
  - 正确做法: 记住：$f''$为负时凹向下（像皱眉，极大值），$f''$为正时凹向上（像杯子，极小值）
- **错误做法:** 声称所有拐点都是驻点
  - 原因: 拐点只要求凹凸性改变，不要求斜率为零
  - 正确做法: 只有驻点型拐点满足$f'(x)=0$；大多数拐点的斜率非零

## 速查表

| 概念 | 核心条件 | 结论 |
| --- | --- | --- |
| 严格递增 | $f'(x) > 0$ | 单调 |
| 严格递减 | $f'(x) < 0$ | 单调 |
| 局部极大值（一阶测试） | $f'(x)$ 正变负 | 局部极大值 |
| 局部极小值（一阶测试） | $f'(x)$ 负变正 | 局部极小值 |
| 驻点型拐点 | $f'(a)=0$，$f'(x)$符号不变 | 驻点型拐点 |
| 局部极大值（二阶测试） | $f'(a)=0$，$f''(a) < 0$ | 局部极大值 |
| 局部极小值（二阶测试） | $f'(a)=0$，$f''(a) > 0$ | 局部极小值 |
| 凹向上 | $f''(x) > 0$ | 向上弯曲 |
| 凹向下 | $f''(x) < 0$ | 向下弯曲 |
| 拐点 | $f''(x)$改变符号 | 凹凸性改变 |

## 下一步

本子主题是IB AA SL微积分两个核心考核内容的基础：图像绘制和应用最优化。理解导数与图像形状的关系后，你就可以准确绘制任何多项式、有理函数或三角函数的图像，这是Paper 1和Paper 2中常见的5-7分题。它还能让你在最优化问题中找到最大值和最小值，这类问题几乎每次考试都会出现。掌握这些概念对IB所有后续微积分主题都至关重要。

- [最优化应用问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/)
- [不定积分与反求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-indefinite-integration-and-anti-differentiation/)
- [定积分与微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-definite-integration-and-fundamental-theorem/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points-monotonicity-and-concavity/