单元总览

微积分

IB 数学：分析与方法 SL· 5 分钟阅读 📊 占考试总分的20-23%

1. 单元概览

本单元遵循从基础概念到应用问题的自然学习路径。我们从支撑微积分的核心思想——极限出发，引入导数的定义。之后你将建立一套适用于所有常见函数类型的完整求导法则工具库，接着再学习求导的应用，分析函数图像并解决实际问题。

掌握求导后，我们将转向积分，从作为求导逆过程的反求导开始。接下来我们引入定积分、连接微积分两大核心概念的微积分基本定理，最后学习积分在计算面积和旋转体体积方面的应用。

本单元包含8个按顺序排列的子主题，从基础到应用逐步推进：

极限与求导简介

通过基础概念极限学习导数的定义

★★⏱ 15 min

基本求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则

掌握基本函数组合求导的核心法则

★★⏱ 18 min

三角函数、指数函数与对数函数的求导

学习非多项式函数类型的导数公式

★★★⏱ 15 min

驻点、单调性与凹凸性

使用导数分析函数图像的形状和性质

★★★⏱ 20 min

最优化应用

应用求导解决实际的最大值与最小值问题

★★★★⏱ 15 min

不定积分与反求导

介绍作为求导逆过程的反求导

★★⏱ 15 min

定积分与微积分基本定理

学习定积分的定义及其与求导的联系

★★★⏱ 18 min

换元积分法、面积与旋转体体积

掌握换元法，并将积分应用于面积和体积问题

★★★★⏱ 20 min

2. 常见陷阱

错误做法:

计算不定积分时忘记积分常数

原因:

这会导致丢失易得分数，且后续问题的结果出错

正确做法:

任何不定积分计算的最终结果都要加上 $+ C$

错误做法:

求导时错误应用链式法则，或换元积分时忘记调整微分

原因:

这是IB考试常规微积分试题中最常见的错误

正确做法:

两种操作都必须始终考虑内层函数的导数

错误做法:

混淆绕x轴和绕y轴旋转的旋转体体积公式

原因:

这会导致积分建立错误，丢失应用考点的分数

正确做法:

记住绕x轴旋转时 $V = π \int y^{2} d x$ ，绕y轴旋转时 $V = π \int x^{2} d y$

3. 速查表

概念	核心公式
导数定义	$\frac{d y}{d x} = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
链式法则	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
$sin x$ 的导数	$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$
$ln x$ 的导数	$\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$
微积分基本定理	$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$
不定积分幂法则	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
两曲线之间的面积	$Area = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$
旋转体体积（绕x轴）	$V = π \int_{a}^{b} [y (x)]^{2} d x$

下一步

从第一个子主题开始学习本微积分单元，它介绍了构成所有求导和积分工作基础的极限概念。完成本单元全部8个子主题后，你将进入IB AA SL大纲的下一单元，该单元专注于统计与概率。