# 微积分

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-overview/
> 占比: 占考试总分的20-23%

本单元介绍微积分核心概念，包括求导、积分及其实际应用与分析应用。它是IB AA SL中占比最高的考点，是许多考试试题的基础。

**先修:** [掌握多项式、有理函数、三角函数、指数函数和对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-overview/)

## 学习目标

- 理解构成微积分基础的极限、求导与积分核心概念
- 对IB AA SL课程讲授的所有常见函数类型应用标准求导与积分法则
- 使用微积分分析函数性质，包括单调性、驻点和凹凸性
- 求解实际最优化问题，并使用积分计算面积和旋转体体积
- 通过微积分基本定理解释求导与积分之间的联系

## 单元概览

本单元遵循从基础概念到应用问题的自然学习路径。我们从支撑微积分的核心思想——极限出发，引入导数的定义。之后你将建立一套适用于所有常见函数类型的完整求导法则工具库，接着再学习求导的应用，分析函数图像并解决实际问题。

掌握求导后，我们将转向积分，从作为求导逆过程的反求导开始。接下来我们引入定积分、连接微积分两大核心概念的微积分基本定理，最后学习积分在计算面积和旋转体体积方面的应用。

本单元包含8个按顺序排列的子主题，从基础到应用逐步推进：
- [极限与求导简介](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-introduction-to-limits-and-differentiation/) — 通过基础概念极限学习导数的定义
- [基本求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules-power-product/) — 掌握基本函数组合求导的核心法则
- [三角函数、指数函数与对数函数的求导](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-differentiation-of-trigonometric-exponential-and/) — 学习非多项式函数类型的导数公式
- [驻点、单调性与凹凸性](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points-monotonicity-and-concavity/) — 使用导数分析函数图像的形状和性质
- [最优化应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/) — 应用求导解决实际的最大值与最小值问题
- [不定积分与反求导](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-indefinite-integration-and-anti-differentiation/) — 介绍作为求导逆过程的反求导
- [定积分与微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-definite-integration-and-fundamental-theorem/) — 学习定积分的定义及其与求导的联系
- [换元积分法、面积与旋转体体积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-sl-u5-integration-by-substitution-area-and/) — 掌握换元法，并将积分应用于面积和体积问题

## 常见错误

- **错误做法:** 计算不定积分时忘记积分常数
  - 原因: 这会导致丢失易得分数，且后续问题的结果出错
  - 正确做法: 任何不定积分计算的最终结果都要加上$+C$
- **错误做法:** 求导时错误应用链式法则，或换元积分时忘记调整微分
  - 原因: 这是IB考试常规微积分试题中最常见的错误
  - 正确做法: 两种操作都必须始终考虑内层函数的导数
- **错误做法:** 混淆绕x轴和绕y轴旋转的旋转体体积公式
  - 原因: 这会导致积分建立错误，丢失应用考点的分数
  - 正确做法: 记住绕x轴旋转时$V = \pi \int y^2 dx$，绕y轴旋转时$V = \pi \int x^2 dy$

## 速查表

| 概念 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 导数定义 | $\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ |
| 链式法则 | $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)$ |
| $\sin x$ 的导数 | $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ |
| $\ln x$ 的导数 | $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ |
| 微积分基本定理 | $\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$ |
| 不定积分幂法则 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$ |
| 两曲线之间的面积 | $\text{Area} = \int_a^b \|f(x) - g(x)\| dx$ |
| 旋转体体积（绕x轴） | $V = \pi \int_a^b [y(x)]^2 dx$ |

## 下一步

从第一个子主题开始学习本微积分单元，它介绍了构成所有求导和积分工作基础的极限概念。完成本单元全部8个子主题后，你将进入IB AA SL大纲的下一单元，该单元专注于统计与概率。

- [极限与求导简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-introduction-to-limits-and-differentiation/)
- [基本求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation-rules-power-product/)
- [三角函数、指数函数和对数函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-differentiation-of-trigonometric-exponential-and/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-overview/