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最优化应用问题

IB 数学：分析与方法 SL· 15 分钟阅读

1. 通用最优化方法

所有最优化问题都遵循一致的解题框架，这能帮助你避免错误，在IB考试中获得全部方法分。

📘 定义

最优化问题

需要在一个或多个约束条件（限制问题变量的可能取值）下，求目标函数的最大值或最小值的问题。

  1. 确定需要优化（最大化/最小化）的量，写出目标函数

  2. 列出问题中对变量的所有给定约束条件

  3. 利用约束条件将目标函数改写为单变量函数

  4. 对单变量函数求导得到一阶导数

  5. 令一阶导数为零，求解得到临界点

  6. 检查临界点是否在函数定义域内，然后对其分类

  7. 证明该临界点是全局极值（得满分的必要步骤）

📐 例题

一个矩形花园建在房屋旁边，因此沿房屋一侧不需要围栏。总共有100米围栏，求使花园面积最大的边长。

  1. 1

    设为垂直于房屋的边长，为平行于房屋的边长。我们需要最大化面积。

  2. 2

    总围栏的约束条件为：，整理得。定义域为。

  3. 3

    代入面积公式，得到单变量目标函数：

  4. 4
    A(x)=x(100−2x)=100x−2x2A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2
  5. 5

    求导并令导数等于零：

  6. 6
    dAdx=100−4x=0  ⟹  x=25\frac{dA}{dx} = 100 - 4x = 0 \implies x = 25
  7. 7

    分类与证明：二阶导数为，因此这是局部最大值。由于它是定义域内唯一的临界点，因此它是全局最大值。

  8. 8

    求得，面积最大时的边长为25 m（垂直方向） × 50 m（平行方向）。

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真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2022 · 1

    围栏花园的最大面积

  • 2021 · 2

    最低生产成本

  • 2023 · 1

    无盖盒子的最大体积

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