# 最优化应用问题

> IB 数学：分析与方法 SL · IB AA SL 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/

本子主题教你应用求导解决实际最优化问题，即在给定约束条件下求某个量的最大值或最小值，这是IB AA SL考试中高频考查的内容。

**先修:** [多项式和有理函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-differentiation-rules/); [求并分类驻点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points/)

## 学习目标

- 从实际场景中建立最优化问题模型
- 求目标函数的临界点
- 确定并证明全局最大值/最小值
- 求解几何和商业中常见的应用最优化问题

## 通用最优化方法

所有最优化问题都遵循一致的解题框架，这能帮助你避免错误，在IB考试中获得全部方法分。

**最优化问题** — 需要在一个或多个约束条件（限制问题变量的可能取值）下，求目标函数的最大值或最小值的问题。

1. 确定需要优化（最大化/最小化）的量，写出目标函数
2. 列出问题中对变量的所有给定约束条件
3. 利用约束条件将目标函数改写为单变量函数
4. 对单变量函数求导得到一阶导数
5. 令一阶导数为零，求解得到临界点
6. 检查临界点是否在函数定义域内，然后对其分类
7. 证明该临界点是全局极值（得满分的必要步骤）

**例题:** 一个矩形花园建在房屋旁边，因此沿房屋一侧不需要围栏。总共有100米围栏，求使花园面积最大的边长。

1. 设$x$为垂直于房屋的边长，$y$为平行于房屋的边长。我们需要最大化面积$A = xy$。
2. 总围栏的约束条件为：$2x + y = 100$，整理得$y = 100 - 2x$。定义域为$0 < x < 50$。
3. 代入面积公式，得到单变量目标函数：
4. $$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$
5. 求导并令导数等于零：
6. $$\frac{dA}{dx} = 100 - 4x = 0 \implies x = 25$$
7. 分类与证明：二阶导数为$A''(x) = -4 < 0$，因此这是局部最大值。由于它是定义域内唯一的临界点，因此它是全局最大值。
8. 求得$y = 100 - 2(25) = 50$，面积最大时的边长为25 m（垂直方向） × 50 m（平行方向）。

> **考试提示:** 务必明确写出目标函数的定义域，并证明你的全局极值，才能拿到全部方法分。

*计算器:* allowed

IB考试最常考查带有几何约束的最优化问题，包括固定周长、面积或体积的情况。这类问题遵循可预测的规律，可以用通用框架求解。

**例题:** 将一块20 cm × 30 cm的硬纸板，每个角剪掉边长为$x$的相等正方形，然后折起侧边制成一个无盖盒子。求使盒子体积最大的$x$。

1. 折叠后，盒子的高为$x$，长为$30 - 2x$，宽为$20 - 2x$。我们需要最大化体积$V = x(30-2x)(20-2x)$。
2. 定义域：所有边长都为正，因此$0 < x < 10$。
3. $$V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$$
4. 求导，令导数为零：
5. $$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0$$
6. 解二次方程：根为$x \approx 12.75$（超出定义域，舍去）和$x \approx 3.92$ cm。
7. 二阶导数$V''(x) = 24x - 200$，因此$V''(3.92) \approx -106 < 0$，因此这是全局最大值。
8. 最终答案：当$x \approx 3.9$ cm（保留三位有效数字）时体积最大。

*计算器:* allowed

IB考试要求明确证明临界点给出的是全局（而非仅局部）最大值或最小值，有三种被认可的证明方法。

- 闭区间上的连续函数：在临界点和端点处计算函数值，最大/最小值就是全局值
- 开定义域：如果只有一个临界点，且它是局部极大值/极小值，那么它就是全局值
- 一阶导数测试：证明函数在临界点处从递增变为递减（极大值），或从递减变为递增（极小值）

**例题:** 某公司生产$x$件产品的总成本为$C(x) = 0.1x^2 + 10x + 900$，收入为$R(x) = 50x$。求使利润最大的产量，并证明你的结论。

1. 利润是$P(x) = R(x) - C(x)$，因此：
2. $$P(x) = -0.1x^2 + 40x - 900$$
3. 定义域：$x > 0$，且利润为正的区间是$0 < x < 373$。
4. 求导并找到临界点：
5. $$P'(x) = -0.2x + 40 = 0 \implies x = 200$$
6. 证明：这是定义域内唯一的临界点。二阶导数为$P''(x) = -0.2 < 0$，因此它是局部最大值，因此它也是全局最大值。
7. 最终答案：产量为200件时利润最大。

> **考试提示:** 只要你清晰陈述推理过程，即使你用计算器找到临界点，也能拿到证明分。

*计算器:* allowed

有些最优化问题的目标函数是非多项式，但通用方法仍然适用，你只需要对对应类型的函数使用正确的求导法则即可。

**例题:** 一个封闭圆柱形罐子的体积必须为1000 cm³，求使罐子总表面积最小的半径和高。

1. 设$r$为半径，$h$为高。我们需要最小化表面积$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$。约束条件：体积$\pi r^2 h = 1000$，因此$h = \frac{1000}{\pi r^2}$。
2. 代入得到目标函数，定义域为$r > 0$：
3. $$S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$$
4. 求导并令导数等于零：
5. $$S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies 4\pi r^3 = 2000 \implies r^3 = \frac{500}{\pi}$$
6. 解得$r \approx 5.42$ cm。二阶导数：
7. $$S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 \text{ for all } r > 0$$
8. 证明：只有一个临界点，且它是局部最小值，因此是全局最小值。求得$h = 2r \approx 10.84$ cm。

> **tip**
>
> 对于体积固定的封闭圆柱，表面积最小时总有$h = 2r$，你可以用这个结论快速检查答案。

*计算器:* allowed

### 常见错误

- **错误做法:** 接受超出问题有效定义域的临界点
  - 原因: 很多二次方程会得到两个根，但其中一个通常超出定义域，导致答案错误
  - 正确做法: 写出单变量目标函数后立刻定义定义域，舍去所有超出定义域的临界点
- **错误做法:** 混淆目标函数和约束条件
  - 原因: 最终你会优化错误的量，即使代数运算正确，整道题也得零分
  - 正确做法: 开始计算前，明确写出你要优化的量和约束条件是什么
- **错误做法:** 忘记证明极值是全局的
  - 原因: 即使你的最终数值正确，IB阅卷员也要求明确证明才能给满分
  - 正确做法: 用一种被认可的方法，添加一句清晰的话证明为什么临界点是全局最大值或最小值
- **错误做法:** 定义域为闭区间时忽略端点
  - 原因: 全局极值可能出现在闭区间的端点，即使区间内部没有临界点
  - 正确做法: 对于闭区间，务必在所有临界点和端点处计算目标函数值，找到全局极值
- **错误做法:** 代入过程中出现代数错误
  - 原因: 即使后续所有步骤都正确，错误的目标函数也会导致最终答案错误
  - 正确做法: 求导前，再次检查目标函数的代入和化简是否正确

### 速查表

| 步骤 | 操作 |
| --- | --- |
| 1 | 定义目标函数，列出约束条件 |
| 2 | 将目标改写为单变量函数 |
| 3 | 写出函数的有效定义域 |
| 4 | 求导，解$f'(x) = 0$得到临界点 |
| 5 | 舍去定义域外的临界点 |
| 6 | 对剩余的临界点分类 |
| 7 | 证明它是全局极值 |
| 8 | 计算题目要求的最终值 |

### 下一步

最优化是微分微积分最具实用性的应用之一，广泛用于工程、商业、经济学和数据科学，在资源约束下做出最优决策。掌握本子主题还能加深你对求导和驻点的核心理解，这些是IB AA SL所有微积分主题的基础。掌握本文介绍的基础最优化应用后，你可以继续学习更复杂的最优化问题，涉及三角函数或结合相关变化率，这类问题常出现在较长的试卷2题目中。最优化也为理解积分微积分的应用打下基础，积分用于解决涉及量累积的问题。定期练习不同题型，能保证你在这个高频考查的主题中拿到满分。

- [求并分类驻点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-stationary-points/)
- [常见函数的求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-differentiation-rules/)
- [相关变化率应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u6-related-rates/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-optimization-applications/