运动学：使用微积分的运动分析

IB 数学分析与方法 SL· 12 分钟阅读

1. 通过求导得到的核心运动学关系★★☆☆☆⏱ 10 min

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📘 定义

运动学导数关系

速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数，或是位移对时间的二阶导数。

v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}

📐 例题

一质点沿直线运动，位移函数为 $s (t) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 12 t$ （ $t \geq 0$ ），其中 $s$ 单位为米， $t$ 单位为秒。求 $t = 2$ 秒时质点的速度和加速度。

1
对 $s (t)$ 求一次导得到速度：
2
$v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 18t + 12$
3
代入 $t = 2$ 求2秒时的速度：
4
$v(2) = 6(2)^2 - 18(2) + 12 = 24 - 36 + 12 = 0 \text{ m/s}$
5
对 $v (t)$ 求一次导得到加速度：
6
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t - 18$
7
代入 $t = 2$ 求2秒时的加速度：
8
$a(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \text{ m/s}^2$

✓ 快速检测

确认你理解导数关系：

若 $s (t) = 5 sin (t)$ ，则 $a (t)$ 等于多少？
- $5 cos (t)$
- $- 5 sin (t)$
- $- 5 cos (t)$
- $5 sin (t)$
显示答案
$-5\sin(t)$ —
求导两次：一阶导数为 $5 cos (t)$ ，二阶导数为 $- 5 sin (t)$ 。

2. 通过积分由速度求位移★★★☆☆⏱ 12 min

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v(t) = \int a(t) dt + c_1, \quad s(t) = \int v(t) dt + c_2

📐 例题

一质点的速度为 $v (t) = 6 t^{2} - 18 t + 12$ （ $t \geq 0$ ）。在 $t = 0$ 时，质点的位移为 $s = 0$ 。求位移函数 $s (t)$ 以及 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间的净位移。

1
对 $v (t)$ 积分得到通解位移函数：
2
$s(t) = \int (6t^2 - 18t + 12) dt = 2t^3 - 9t^2 + 12t + c$
3
应用初始条件 $s (0) = 0$ ： $0 = 0 - 0 + 0 + c$ ，因此 $c = 0$ 。
4
计算 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的定积分得到净位移：
5
$\int_0^3 (6t^2 - 18t + 12) dt = \left[2t^3 -9t^2 +12t\right]_0^3 = (54 - 81 + 36) - 0 = 9 \text{ m}$

3. 计算总行驶路程★★★★☆⏱ 15 min

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📐 例题

使用相同的速度函数 $v (t) = 6 t^{2} - 18 t + 12$ ，计算质点在 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间的总行驶路程。

1
求 $v (t) = 0$ 的根：因式分解得到 $6 (t - 1) (t - 2) = 0$ ，因此根为 $t = 1$ 和 $t = 2$ 。
2
测试每个区间上 $v (t)$ 的符号：0<t<1时为正，1<t<2时为负，2<t<3时为正。
3
对每个区间上 $v (t)$ 的绝对值积分：
4
$\int_0^1 v(t) dt = 5, \quad \int_1^2 -v(t) dt = 1, \quad \int_2^3 v(t) dt = 4$
5
将三个结果相加得到总路程： $5 + 1 + 4 = 10$ m。

4. 运动学函数的图像解读★★★☆☆⏱ 10 min

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图像	斜率代表	曲线下面积代表
位移-时间图像	瞬时速度	无标准运动学含义
速度-时间图像	瞬时加速度	净位移 / 总路程
加速度-时间图像	加速度的变化率	速度的变化量

📐 例题

速度-时间图像是一条从 $t = 0$ 时 $v = 4$ m/s下降到 $t = 3$ 时 $v = - 2$ m/s的直线。使用面积计算求总行驶路程。

1
找到v(t)在t=2处的根，此处速度穿过零点。
2
计算t=0到t=2之间正三角形的面积： $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ m。
3
计算t=2到t=3之间负三角形的面积： $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ m。
4
将面积相加得到总路程： $4 + 1 = 5$ m。

5. 常见陷阱

错误做法:

直接对 $v (t)$ 做单次定积分来计算总路程

原因:

负速度区域会抵消正位移值，返回的是净位移而非总路径长度

正确做法:

找到区间内 $v (t)$ 的所有根，在这些点处分割积分区间，对每个子积分的绝对值求和

错误做法:

将加速度视为位移的一阶导数

原因:

混淆求导顺序，跳过速度步骤，导致单位和数值错误

正确做法:

遵循链式规则：对位移求一次导得到速度，对速度求一次导得到加速度

错误做法:

从 $v (t)$ 求 $s (t)$ 时忘记积分常数

原因:

不定积分会产生一个任意常数，对应质点的初始位置

正确做法:

使用给定的初始条件（例如 $s (0) = 3$ ）求解常数，再最终确定位移函数

错误做法:

假设加速度为零时速度也为零

原因:

加速度为零表示速度是常数，不代表速度等于零

正确做法:

显式设置 $v (t) = 0$ 来找到质点静止或改变方向的点

错误做法:

将加速度的单位写为m/s

原因:

加速度是速度的变化率，因此单位是米每二次方秒

正确做法:

始终确认单位与你计算的物理量匹配，避免丢失步骤分

6. 速查表

物理量	数学关系	标准单位
位移 $s (t)$	$s (t) = \int v (t) d t + c$	m
速度 $v (t)$	$v (t) = \frac{d s}{d t} = \int a (t) d t + c$	m/s
加速度 $a (t)$	$a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	m/s²
从 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 的净位移	$\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$	m
从 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 的总路程	$\int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t$	m

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 2
运动学积分6分题
2022 · Paper 1
速度求导7分题
2021 · Paper 2
总路程计算4分题

下一步

掌握微积分运动学是一个高分考点，几乎出现在每一份IB 数学AA SL的Paper 2中，通常占6-8分。该主题直接建立在你之前的求导和积分熟练度之上，为你后续学习相关变化率、运动建模和优化场景下的应用微积分问题做准备。你将频繁结合这些运动学规则与函数根、图像绘制和定积分计算的知识，在扩展问答题中拿到满分。这是教学大纲中考察频率最高的应用微积分主题之一，持续练习将直接提升你的考试分数。