# 运动学：使用微积分的运动分析

> IB 数学分析与方法 SL · IB Math AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-kinematics-motion-with-calculus/

本模块将核心微分和积分微积分知识与一维运动学关联，涵盖位移、速度、加速度之间的关系、变加速问题求解以及图像解读。

**先修:** [多项式、三角函数和指数函数的基础求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation/); [标准函数的定积分与不定积分运算法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-definite-integrals/)

## 学习目标

- 将位移、速度和加速度定义为一维运动中随时间变化的函数
- 通过求导和不定/定积分关联三个运动学物理量
- 求解非匀加速运动的考试题型问题
- 区分变向运动中的净位移和总行驶路程

## 通过求导得到的核心运动学关系

对于沿直线运动的质点，三个核心运动学物理量通过变化率关联。由于加速度可随时间变化，此处不适用匀加速运动学方程（SUVAT）。

**运动学导数关系** — 速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数，或是位移对时间的二阶导数。

$$v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$$

**例题:** 一质点沿直线运动，位移函数为$ s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t $（$ t \geq 0 $），其中$s$单位为米，$t$单位为秒。求$t=2$秒时质点的速度和加速度。

1. 对$s(t)$求一次导得到速度：
2. $$v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 18t + 12$$
3. 代入$t=2$求2秒时的速度：
4. $$v(2) = 6(2)^2 - 18(2) + 12 = 24 - 36 + 12 = 0 \text{ m/s}$$
5. 对$v(t)$求一次导得到加速度：
6. $$a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t - 18$$
7. 代入$t=2$求2秒时的加速度：
8. $$a(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \text{ m/s}^2$$

**概念自测**

确认你理解导数关系：

1. 若$ s(t) = 5\sin(t) $，则$ a(t) $等于多少？

   - $5\cos(t)$
   - $-5\sin(t)$
   - $-5\cos(t)$
   - $5\sin(t)$

   *解析:* 求导两次：一阶导数为$5\cos(t)$，二阶导数为$-5\sin(t)$。

*计算器:* allowed

## 通过积分由速度求位移

积分是求导的逆过程：对加速度积分得到速度，对速度积分得到位移。对于不定积分，你必须使用给定的初始条件求解积分常数。

$$v(t) = \int a(t) dt + c_1, \quad s(t) = \int v(t) dt + c_2$$

**例题:** 一质点的速度为$ v(t) = 6t^2 - 18t + 12 $（$ t \geq 0 $）。在$t=0$时，质点的位移为$s=0$。求位移函数$s(t)$以及$t=0$到$t=3$之间的净位移。

1. 对$v(t)$积分得到通解位移函数：
2. $$s(t) = \int (6t^2 - 18t + 12) dt = 2t^3 - 9t^2 + 12t + c$$
3. 应用初始条件$s(0)=0$：$0 = 0 - 0 + 0 + c$，因此$c=0$。
4. 计算$t=0$到$t=3$的定积分得到净位移：
5. $$\int_0^3 (6t^2 - 18t + 12) dt = \left[2t^3 -9t^2 +12t\right]_0^3 = (54 - 81 + 36) - 0 = 9 \text{ m}$$

> **tip**
>
> 净位移可以为负，这表示质点最终位于起点左侧，不代表它行驶了负的距离。

*计算器:* allowed

## 计算总行驶路程

> **warning**
>
> 如果质点在时间区间内改变运动方向，总行驶路程不等于净位移。

要计算总路程，首先找到区间内所有满足$v(t)=0$的时刻（这些是质点反向的点）。在这些根处分割区间，对每个子区间上的$v(t)$的绝对值积分，再将结果相加。

**例题:** 使用相同的速度函数$ v(t) = 6t^2 - 18t +12 $，计算质点在$t=0$到$t=3$之间的总行驶路程。

1. 求$v(t) = 0$的根：因式分解得到$6(t-1)(t-2)=0$，因此根为$t=1$和$t=2$。
2. 测试每个区间上$v(t)$的符号：0<t<1时为正，1<t<2时为负，2<t<3时为正。
3. 对每个区间上$v(t)$的绝对值积分：
4. $$\int_0^1 v(t) dt = 5, \quad \int_1^2 -v(t) dt = 1, \quad \int_2^3 v(t) dt = 4$$
5. 将三个结果相加得到总路程：$5 + 1 + 4 = 10$ m。

**考试命令词**

IB考试运动学题目使用特定的指令术语：

- **Find displacement** — 计算位置的净带符号变化，无需分割区间

- **Find total distance** — 你必须在v(t)=0的点处分割区间，对积分的绝对值求和

*计算器:* allowed

## 运动学函数的图像解读

| 图像 | 斜率代表 | 曲线下面积代表 |
| --- | --- | --- |
| 位移-时间图像 | 瞬时速度 | 无标准运动学含义 |
| 速度-时间图像 | 瞬时加速度 | 净位移 / 总路程 |
| 加速度-时间图像 | 加速度的变化率 | 速度的变化量 |

**例题:** 速度-时间图像是一条从$t=0$时$v=4$ m/s下降到$t=3$时$v=-2$ m/s的直线。使用面积计算求总行驶路程。

1. 找到v(t)在t=2处的根，此处速度穿过零点。
2. 计算t=0到t=2之间正三角形的面积：$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ m。
3. 计算t=2到t=3之间负三角形的面积：$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ m。
4. 将面积相加得到总路程：$4 + 1 = 5$ m。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 直接对$v(t)$做单次定积分来计算总路程
  - 原因: 负速度区域会抵消正位移值，返回的是净位移而非总路径长度
  - 正确做法: 找到区间内$v(t)$的所有根，在这些点处分割积分区间，对每个子积分的绝对值求和
- **错误做法:** 将加速度视为位移的一阶导数
  - 原因: 混淆求导顺序，跳过速度步骤，导致单位和数值错误
  - 正确做法: 遵循链式规则：对位移求一次导得到速度，对速度求一次导得到加速度
- **错误做法:** 从$v(t)$求$s(t)$时忘记积分常数
  - 原因: 不定积分会产生一个任意常数，对应质点的初始位置
  - 正确做法: 使用给定的初始条件（例如$s(0)=3$）求解常数，再最终确定位移函数
- **错误做法:** 假设加速度为零时速度也为零
  - 原因: 加速度为零表示速度是常数，不代表速度等于零
  - 正确做法: 显式设置$v(t)=0$来找到质点静止或改变方向的点
- **错误做法:** 将加速度的单位写为m/s
  - 原因: 加速度是速度的变化率，因此单位是米每二次方秒
  - 正确做法: 始终确认单位与你计算的物理量匹配，避免丢失步骤分

## 速查表

| 物理量 | 数学关系 | 标准单位 |
| --- | --- | --- |
| 位移 $s(t)$ | $s(t) = \int v(t) dt + c$ | m |
| 速度 $v(t)$ | $v(t) = \frac{ds}{dt} = \int a(t) dt + c$ | m/s |
| 加速度 $a(t)$ | $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$ | m/s² |
| 从$t_1$到$t_2$的净位移 | $\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$ | m |
| 从$t_1$到$t_2$的总路程 | $\int_{t_1}^{t_2} \|v(t)\| dt$ | m |

## 下一步

掌握微积分运动学是一个高分考点，几乎出现在每一份IB 数学AA SL的Paper 2中，通常占6-8分。该主题直接建立在你之前的求导和积分熟练度之上，为你后续学习相关变化率、运动建模和优化场景下的应用微积分问题做准备。你将频繁结合这些运动学规则与函数根、图像绘制和定积分计算的知识，在扩展问答题中拿到满分。这是教学大纲中考察频率最高的应用微积分主题之一，持续练习将直接提升你的考试分数。

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