极限与微分导论

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 5: Calculus, Topic 1· 15 分钟阅读

1. 极限与切线斜率★☆☆☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

函数的极限

\lim_{x \to a} f(x) = L

极限描述了当输入 $x$ 趋近于给定值 $a$ 时，函数 $f (x)$ 趋近的值，与 $f$ 在 $x = a$ 处本身的取值无关。

例:

对于 $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ，尽管 $f (1)$ 无定义，仍有 $lim_{x \to 1} f (x) = 2$ 。

极限让我们能够从计算割线斜率（曲线上两点之间的平均变化率）过渡到切线斜率（一点处的瞬时变化率）。当第二点不断靠近第一点时，割线斜率会趋近于切线斜率，我们通过取两点间距趋近于零的极限来得到切线斜率。

📐 例题

$h$ 是两个x坐标的间距，通过计算 $h = 1, 0.1, 0.01$ 时的割线斜率，估计 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率。

1
写出割线斜率的一般表达式：
2
$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
3
计算并化简表达式：
4
$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2, \quad f(2) = 4 \\ \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \frac{h(4 + h)}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$
5
代入给定的 $h$ 值：
6
当 $h = 1$ ，斜率 = $4 + 1 = 5$ ；当 $h = 0.1$ ，斜率 = $4.1$ ；当 $h = 0.01$ ，斜率 = $4.01$ 。
7
得出结论：当 $h$ 趋近于0，斜率趋近于4，因此 $x = 2$ 处的切线斜率约为4。

Exam tip:

分数会给到展示极限趋近过程的步骤，而不仅仅是最终答案。

2. 第一原理求导★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

第一原理导数定义

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

导数 $f^{'} (x)$ （也称斜率函数）是当 $h$ 趋近于0时割线斜率的极限，它给出了曲线上任意点 $x$ 处切线的瞬时斜率。

例:

对于 $f (x) = 3 x$ ， $f^{'} (x) = 3$ ，这与直线的恒定斜率一致。

第一原理求导是IB AA SL试卷1中经常直接考察的标准方法，通常占4-5分。记住公式并展示每一个步骤才能拿到满分，这非常关键。

📐 例题

用第一原理对 $f (x) = x^{2} + 3 x$ 求导。

1
写出第一原理公式：
2
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
3
展开 $f (x + h)$ ：
4
$f(x+h) = (x+h)^2 + 3(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h$
5
减去 $f (x) = x^{2} + 3 x$ ：
6
$f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 + 3h = h(2x + h + 3)$
7
除以 $h$ （ $h \neq = 0$ 时成立）：
8
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h + 3$
9
取 $h \to 0$ 的极限：
10
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h + 3) = 2x + 3$

Exam tip:

一定要展示所有展开和化简步骤，分数会给到方法，而不仅仅是最终的导数结果。

3. 导数的意义★★☆☆☆⏱ 4 min

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导数有两种核心意义：从图像上看，它是曲线上某点处切线的斜率；从实际意义上看，它是因变量关于自变量的瞬时变化率。例如，如果 $s (t)$ 是物体在时刻 $t$ 的位置， $s^{'} (t)$ 就是物体在时刻 $t$ 的瞬时速度。

📐 例题

求 $y = 2 x^{2} - x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程。

1
首先求斜率函数 $y^{'}$ （我们这里使用你接下来会学到的幂次法则，第一原理可以验证结果： $y^{'} = 4 x - 1$ ）
2
计算 $x = 1$ 处的斜率：
3
$m = y'(1) = 4(1) - 1 = 3$
4
求 $x = 1$ 处该点的 $y$ 坐标：
5
$y = 2(1)^2 - 1 = 1, \text{ 所以该点是 } (1, 1)$
6
使用直线的点斜式公式：
7
$y - 1 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 2$

✓ 快速检测

测试你对导数的理解：

如果 $f (x)$ 是汽车在 $x$ 秒内行驶的距离， $f^{'} (5) = 10$ 是什么意思？
- 汽车在5秒内行驶了10米
- 汽车在5秒时的瞬时速度是10 米/秒
- 0到5秒之间的平均速度是10 米/秒
显示答案
1 —
正确！距离关于时间的导数就是瞬时速度。

4. 常见陷阱

错误做法:

在约去分母中的 $h$ 之前就代入 $h = 0$ ，得到无定义的 $\frac{0}{0}$ 。

原因:

函数在 $h = 0$ 处无定义，但极限只取决于趋近于0的值，与 $h = 0$ 本身无关。

正确做法:

一定要先从分子中分解出 $h$ ，和分母约去后再代入 $h = 0$ 。

错误做法:

错误展开 $(x + h)^{n}$ ，例如错写为 $(x + h)^{2} = x^{2} + h^{2}$ 。

原因:

展开二项式时漏了交叉项，导致导数结果错误。

正确做法:

始终使用二项式展开法则：对任意 $x, h$ ，都有 $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ 。

错误做法:

化简 $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 后就停止，忘记明确写出取极限的步骤。

原因:

将割线斜率表达式和最终的导数混淆。

正确做法:

一定要明确写出取极限的步骤，代入 $h \to 0$ 得到最终导数。

错误做法:

求 $x = a$ 处的切线方程时，将 $f^{'} (a)$ 当作 $y$ 坐标使用。

原因:

混淆了该点处的斜率值和函数值。

正确做法:

分别计算斜率 $f^{'} (a)$ 和 $y$ 坐标 $f (a)$ ，区分两个值。

5. 速查表

概念	公式/符号	核心意义
$f (x)$ 的极限	$lim_{x \to a} f (x)$	x趋近于a时f(x)趋近的值
第一原理导数	$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$	从极限基本定义得到的导数
x=a处的导数	$f^{'} (a)$	$(a, f (a))$ 处切线的斜率
x=a处的切线	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$	给定点处的切线方程

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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本子主题为你在IB AA SL中将要学习的所有微积分打下了基础。理解微分如何从割线斜率的极限构建而来，能帮助你理解我们接下来会讲到的所有标准微分法则，也能帮助你在把这些法则应用到三角函数、对数函数等更复杂的函数时避免常见误区。第一原理求导的掌握也经常作为完整方法题在试卷1中考察，通常占4-5分，因此在继续学习前练习完整的分步方法非常重要。