换元积分法、曲线面积与旋转体体积

IB 数学 AA SL· IB AA SL Topic 5: Calculus, 5.9, 5.10· 25 分钟阅读

1. 换元积分法★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

换元积分法

$u = g (x)$

用于计算形如 $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ 的复合函数积分的技巧。令 $u = g (x)$ ，则 $d u = g^{'} (x) d x$ ，可将原积分转化为更简单的 $\int f (u) d u$ 。

例:

对于积分 $\int 2 x cos (x^{2}) d x$ ，令 $u = x^{2}$ 即可将积分简化为 $\int cos u d u$ 。

换元法既适用于不定积分也适用于定积分。定积分换元有两种正确方法：(1) 将积分上下限更换为 $u$ 对应的值，直接用 $u$ 计算结果；(2) 用 $u$ 积分后，换回原变量 $x$ ，再代入原上下限计算。只要解题过程清晰，两种方法在IB考试中都得分。

📐 例题

计算定积分 $\int_{0}^{2} 2 x e^{x^{2}} d x$

1
将复合指数函数的内层函数选为 $u$ ：
2
$u = x^2$
3
对 $u$ 求导，得到 $d u$ 与 $d x$ 的关系：
4
$\frac{du}{dx} = 2x \implies du = 2x dx$
5
将 $x$ 的上下限更换为对应 $u$ 的值：
6
当 $x = 0$ 时， $u = 0^{2} = 0$ ；当 $x = 2$ 时， $u = 2^{2} = 4$
7
代入原积分得到简化形式：
8
$\int_{0}^{4} e^u du$
9
积分并计算结果：
10
$\left[ e^u \right]_0^4 = e^4 - e^0 = e^4 - 1 \approx 54.6$

Exam tip:

总是通过求导回代检查结果，这个操作只需要10秒，能纠正大部分换元错误。

2. 曲线与坐标轴围成的面积★★★☆☆⏱ 8 min

标准定积分得到的是净有符号面积，x轴下方的区域会贡献负值。要计算实际总面积，你必须在区间内的所有x截点处拆分积分，再对每个分段积分取绝对值。 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的总面积是 $A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ 。

📘 定义

曲线与x轴之间的总面积

曲线与x轴之间所有区域面积的正值和，与曲线位于x轴上方还是下方无关。

📐 例题

求 $x = 0$ 到 $x = 2$ 之间 $y = x^{3} - x$ 与x轴的总面积。

1
找出区间内的x截点，拆分积分：
2
$x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0 \implies x=0, x=1$
3
函数在 $0 < x < 1$ 区间为负，在 $1 < x < 2$ 区间为正，因此总面积为：
4
$A = \left| \int_0^1 (x^3 - x) dx \right| + \int_1^2 (x^3 - x) dx$
5
计算第一个积分：
6
$\int_0^1 (x^3 - x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -\frac{1}{4}$
7
取绝对值后计算第二个积分：
8
$A = \left| -\frac{1}{4} \right| + \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{4} + \left(2 + \frac{1}{4}\right) = 2.5$

Exam tip:

如果题目要求求面积，它一定指的是总面积，不是净有符号面积。一定要检查曲线在积分区间内是否穿过x轴。

3. 绕x轴旋转的旋转体体积★★★★☆⏱ 7 min

将 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 围成的区域绕x轴旋转360°后，所得立体的体积公式为：

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx

📐 例题

求 $y = x + 1$ 从 $x = 0$ 到 $x = 2$ 绕x轴旋转形成的旋转体体积，结果用 $π$ 表示。

1
写下体积公式并代入已知值：
2
$V = \pi \int_0^2 (x+1)^2 dx$
3
用换元法计算积分，令 $u = x + 1$ ， $d u = d x$ ：
4
更换上下限：当 $x = 0$ 时， $u = 1$ ；当 $x = 2$ 时， $u = 3$
5
$V = \pi \int_1^3 u^2 du$
6
积分并计算结果：
7
$V = \pi \left[ \frac{u^3}{3} \right]_1^3 = \pi \left(9 - \frac{1}{3}\right) = \frac{26}{3}\pi$

Exam tip:

不要忘记体积计算结果中的 $π$ ！阅卷人经常会因为这个常见错误扣分。

4. 常见陷阱

错误做法:

定积分换元时忘记更换上下限，用原x的上下限计算u的积分

原因:

变量不匹配，会得到完全错误的结果

正确做法:

要么更换上下限匹配u，要么积分后换回x再代入原上下限计算

错误做法:

计算包含x轴下方区域的总面积时，保留负面积不做处理

原因:

面积恒为正值；考题中问面积时，要求的是总面积不是净有符号面积

正确做法:

找出区间内所有截点，拆分积分，对每个分段积分取绝对值

错误做法:

计算旋转体体积时忘记对 $f (x)$ 平方

原因:

公式使用圆形截面的面积，而半径为 $y = f (x)$ ，需要平方

正确做法:

总是先写下公式，积分前确认你已经对 $f (x)$ 平方

错误做法:

计算 $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ 时，选 $u = f (x)$ 而不是内层复合函数 $g (x)$

原因:

这会让积分变得更难甚至无法计算，浪费宝贵的考试时间

正确做法:

总是选u为复合项的内层函数，并确认被积函数中存在它的导数（差常数倍数没关系）

5. 速查表

概念	公式	要点
不定积分换元	$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, u = g (x)$	求导回代检查
定积分换元	$\int_{x = a}^{x = b} ... d x = \int_{u = g (a)}^{u = g (b)} ... d u$	更换上下限后不需要回代
总面积（a到b，x轴）	$A = \sum ∣ \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x ∣$	在所有x截点拆分
旋转体体积（x轴）	$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$	不要忘记 $π$

6. 常见问题

定积分换元时需要更换积分上下限吗？

是的，定积分换元时需要。你既可以将上下限更换为新变量对应的值，也可以积分后换回原变量，再代入原上下限计算。两种方法在IB考试中都是可接受的。

AA SL 考纲要求掌握绕y轴旋转的旋转体体积吗？

不要求，AA SL 只考察绕x轴旋转的旋转体体积，你不需要练习绕y轴旋转的相关题目。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

换元积分法是所有高级积分技巧的基础，如果你后续学习HL数学，它是分部积分等主题的先修知识。面积和旋转体体积问题在IB AA SL 试卷2中非常常见，经常和换元法结合考察，因此持续练习各类题目能帮助你在这些分值通常很高的题目上拿到满分。掌握本主题还能培养你对积分微积分的直觉，这对大学STEM和经济学学习非常有用。