不定积分与反求导

IB 数学 AA SL· 第5主题：微积分，5.7 不定积分· 10 分钟阅读

1. 求导与积分的互逆关系★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

不定积分

\int f(x) dx = F(x) + C

若在某区间内对所有 $x$ 都有 $F^{'} (x) = f (x)$ ，则 $F (x) + C$ 是 $f (x)$ 关于 $x$ 的不定积分， $C$ 为积分常数。

例:

对于 $f (x) = 2 x$ ，不定积分为 $x^{2} + C$

积分是求导的逆运算。任意连续函数都有无穷多族反导数，它们仅相差一个常数，这是因为任意常数的导数都为零。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ 的一般不定积分

1
逆用求导的幂法则：将 $x$ 的幂次加1，然后除以新的幂次，最后加上积分常数。
2
$\int (3x^2 + 4x) dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$
3
化简表达式：
4
$= x^3 + 2x^2 + C$

Exam tip:

所有不定积分都必须写上 $+ C$ ；如果遗漏，阅卷者会扣1分。

2. 常见函数的标准积分法则★★★☆☆⏱ 4 min

🚫 计算器禁用

函数 $f (x)$	不定积分 $\int f (x) d x$
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x} + C$
$sin (k x)$	$- \frac{1}{k} cos (k x) + C$
$cos (k x)$	$\frac{1}{k} sin (k x) + C$

所有这些法则都是通过逆用标准求导法则得到的。 $ln ∣ x ∣$ 中的绝对值保证了积分对正负 $x$ 都有定义。

📐 例题

求 $\int (2 sin 3 x + \frac{5}{x} - e^{4 x}) d x$

1
使用标准法则对每一项分别积分：
2
对于 $2 sin 3 x$ ：乘以 $\frac{1}{3}$ 并添加负号：
3
$2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cos 3x\right)$
4
对于 $\frac{5}{x}$ ：结果为 $5 ln ∣ x ∣$ ；对于 $- e^{4 x}$ ：乘以 $\frac{1}{4}$ ：
5
$+ 5 \ln|x| - \frac{1}{4} e^{4x} + C$
6
最终化简结果：
7
$-\frac{2}{3} \cos 3x + 5 \ln|x| - \frac{1}{4} e^{4x} + C$

3. 由初始条件求特解★★★☆☆⏱ 5 min

🚫 计算器禁用

如果你知道原函数在某一特定点的值（即初始条件），就可以求解出积分常数 $C$ ，得到唯一的特解。

📐 例题

已知 $\frac{d y}{d x} = x^{2} + 2$ ，且当 $x = 1$ 时 $y = 4$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

1
先求一般不定积分（通解）：
2
$y = \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C$
3
代入 $y = 4$ 和 $x = 1$ 求解 $C$ ：
4
$4 = \frac{(1)^3}{3} + 2(1) + C = \frac{7}{3} + C$
5
整理得 $C$ ：
6
$C = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$
7
写出最终特解：
8
$y = \frac{1}{3}x^3 + 2x + \frac{5}{3}$

✓ 快速检测

检验你的理解：

若 $\frac{d y}{d x} = 2 x$ ，且当 $x = 3$ 时 $y = 10$ ，则 $C$ 的值是多少？
- 1
- -1
- 10
- 4

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记在不定积分结果中添加积分常数 $+ C$

原因:

阅卷者一定会因为这个遗漏扣分，因为这是不定积分的核心要求

正确做法:

每次都在不定积分末尾写上 $+ C$ ，哪怕你之后还要求解它的值

错误做法:

积分 $sin (k x)$ 、 $cos (k x)$ 或 $e^{k x}$ 时忘记除以系数 $k$

原因:

这是逆用求导的链式法则，该过程总是要求除以常数系数

正确做法:

积分形如 $f (k x)$ 的函数时，总是要将结果乘以 $\frac{1}{k}$

错误做法:

积分 $\frac{1}{x}$ 时省略绝对值符号

原因:

$ln (x)$ 在 $x$ 为负数时无定义，但 $\frac{1}{x}$ 对所有非零 $x$ 都有定义

正确做法:

积分 $\frac{1}{x}$ 时总是写上 $ln ∣ x ∣ + C$

错误做法:

错误逆用幂法则：除以原幂次而非新幂次

原因:

这是和求导幂法则混淆后常犯的错误

正确做法:

记住：幂次加1，再除以新幂次

错误做法:

对多个项分别写多个积分常数，例如 $\frac{x ^{3}}{3} + C + 2 x + C$

原因:

所有任意常数都可以合并为一个常数 $C$

正确做法:

只在整个积分的末尾写一个 $+ C$

5. 速查表

$f (x)$	$\int f (x) d x$
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{k x}$	$\frac{e ^{k x}}{k} + C$
$sin (k x)$	$- \frac{c o s ( k x )}{k} + C$
$cos (k x)$	$\frac{s i n ( k x )}{k} + C$
$sec^{2} (k x)$	$\frac{t a n ( k x )}{k} + C$
$a f (x) + b g (x)$	$a \int f (x) d x + b \int g (x) d x + C$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

不定积分是IB AA SL中所有后续积分主题的基础。接下来你将学习定积分和微积分基本定理，该定理将不定积分与曲线下面积的计算联系起来。之后你将继续学习换元积分法，以及积分在运动学和面积问题中的应用。掌握这里的不定积分基本法则，会让所有这些更高级的主题更容易理解。