# 不定积分与反求导

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-indefinite-integration-and-anti-differentiation/

本子主题将不定积分作为求导的逆过程进行介绍。你将学习如何求常见函数的反导数，理解积分常数，并在给定初始条件时求解特解。

**先修:** [多项式、三角函数和指数函数的基本求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u4-basic-differentiation-rules/)

## 学习目标

- 认识求导与反求导之间的互逆关系
- 运用基本积分法则求常见函数的不定积分
- 理解积分常数的作用
- 利用初始条件求积分的特解

## 求导与积分的互逆关系

**不定积分** — 若在某区间内对所有$x$都有$F'(x) = f(x)$，则$F(x) + C$是$f(x)$关于$x$的不定积分，$C$为积分常数。

*记法:* \int f(x) dx = F(x) + C

*例:* 对于$f(x) = 2x$，不定积分为$x^2 + C$

积分是求导的逆运算。任意连续函数都有无穷多族反导数，它们仅相差一个常数，这是因为任意常数的导数都为零。

**例题:** 求$f(x) = 3x^2 + 4x$的一般不定积分

1. 逆用求导的幂法则：将$x$的幂次加1，然后除以新的幂次，最后加上积分常数。
2. $$\int (3x^2 + 4x) dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$$
3. 化简表达式：
4. $$= x^3 + 2x^2 + C$$

> **考试提示:** 所有不定积分都必须写上$+C$；如果遗漏，阅卷者会扣1分。

## 常见函数的标准积分法则

| 函数 $f(x)$ | 不定积分 $\int f(x) dx$ |
| --- | --- |
| $x^n \ (n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\|x\| + C$ |
| $e^{kx}$ | $\frac{1}{k} e^{kx} + C$ |
| $\sin(kx)$ | $-\frac{1}{k} \cos(kx) + C$ |
| $\cos(kx)$ | $\frac{1}{k} \sin(kx) + C$ |

所有这些法则都是通过逆用标准求导法则得到的。$\ln|x|$中的绝对值保证了积分对正负$x$都有定义。

**例题:** 求$\int \left(2 \sin 3x + \frac{5}{x} - e^{4x}\right) dx$

1. 使用标准法则对每一项分别积分：
2. 对于$2 \sin 3x$：乘以$\frac{1}{3}$并添加负号：
3. $$2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cos 3x\right)$$
4. 对于$\frac{5}{x}$：结果为$5 \ln|x|$；对于$-e^{4x}$：乘以$\frac{1}{4}$：
5. $$+ 5 \ln|x| - \frac{1}{4} e^{4x} + C$$
6. 最终化简结果：
7. $$-\frac{2}{3} \cos 3x + 5 \ln|x| - \frac{1}{4} e^{4x} + C$$

*计算器:* forbidden

## 由初始条件求特解

如果你知道原函数在某一特定点的值（即初始条件），就可以求解出积分常数$C$，得到唯一的特解。

**例题:** 已知$\frac{dy}{dx} = x^2 + 2$，且当$x = 1$时$y = 4$，求$y$关于$x$的表达式。

1. 先求一般不定积分（通解）：
2. $$y = \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C$$
3. 代入$y=4$和$x=1$求解$C$：
4. $$4 = \frac{(1)^3}{3} + 2(1) + C = \frac{7}{3} + C$$
5. 整理得$C$：
6. $$C = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$$
7. 写出最终特解：
8. $$y = \frac{1}{3}x^3 + 2x + \frac{5}{3}$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 若$\frac{dy}{dx} = 2x$，且当$x=3$时$y=10$，则$C$的值是多少？

   - 1
   - -1
   - 10
   - 4

   *答案:* 1

   *解析:* 正确：通解为$y = x^2 + C$，代入数值可得：$10 = 3^2 + C \rightarrow C = 1$

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记在不定积分结果中添加积分常数$+C$
  - 原因: 阅卷者一定会因为这个遗漏扣分，因为这是不定积分的核心要求
  - 正确做法: 每次都在不定积分末尾写上$+C$，哪怕你之后还要求解它的值
- **错误做法:** 积分$\sin(kx)$、$\cos(kx)$或$e^{kx}$时忘记除以系数$k$
  - 原因: 这是逆用求导的链式法则，该过程总是要求除以常数系数
  - 正确做法: 积分形如$f(kx)$的函数时，总是要将结果乘以$\frac{1}{k}$
- **错误做法:** 积分$\frac{1}{x}$时省略绝对值符号
  - 原因: $\ln(x)$在$x$为负数时无定义，但$\frac{1}{x}$对所有非零$x$都有定义
  - 正确做法: 积分$\frac{1}{x}$时总是写上$\ln|x| + C$
- **错误做法:** 错误逆用幂法则：除以原幂次而非新幂次
  - 原因: 这是和求导幂法则混淆后常犯的错误
  - 正确做法: 记住：幂次加1，再除以新幂次
- **错误做法:** 对多个项分别写多个积分常数，例如$\frac{x^3}{3} + C + 2x + C$
  - 原因: 所有任意常数都可以合并为一个常数$C$
  - 正确做法: 只在整个积分的末尾写一个$+C$

## 速查表

| $f(x)$ | $\int f(x) dx$ |
| --- | --- |
| $x^n \ (n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\|x\| + C$ |
| $e^{kx}$ | $\frac{e^{kx}}{k} + C$ |
| $\sin(kx)$ | $-\frac{\cos(kx)}{k} + C$ |
| $\cos(kx)$ | $\frac{\sin(kx)}{k} + C$ |
| $\sec^2(kx)$ | $\frac{\tan(kx)}{k} + C$ |
| $af(x) + bg(x)$ | $a\int f(x)dx + b\int g(x)dx + C$ |

## 下一步

不定积分是IB AA SL中所有后续积分主题的基础。接下来你将学习定积分和微积分基本定理，该定理将不定积分与曲线下面积的计算联系起来。之后你将继续学习换元积分法，以及积分在运动学和面积问题中的应用。掌握这里的不定积分基本法则，会让所有这些更高级的主题更容易理解。

- [定积分与微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-definite-integration-and-fundamental-theorem/)
- [换元积分法、曲线面积与旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-integration-by-substitution-area-and/)

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