# 切线与法线方程

> IB 数学 分析与方法 SL · IB Math AA SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-equations-of-tangents-and-normals/

我们将讲解使用一阶导数求切线斜率、推导完整的切线与法线方程，以及解答常见的IB考试题目。

**先修:** [多项式函数的基础求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u5-basic-differentiation/); [直线方程（y = mx + c）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-sl-u2-linear-functions/)

## 学习目标

- 使用一阶导数计算曲线在指定点处的斜率
- 推导函数在指定坐标点处的切线完整方程
- 推导在切点处与切线垂直的法线的完整方程
- 求解切线或法线与曲线交于第二点的考试题型题目

## 计算某点处的切线斜率

曲线$y = f(x)$在任意点$x$处的切线斜率，完全等于一阶导数$f'(x)$在该$x$坐标处的取值。这一核心原理是IB 数学 AA SL中所有切线与法线计算的基础。

**切线斜率** — 在$x=a$处与曲线$y=f(x)$相切的直线的斜率，等于曲线在该点处的瞬时变化率。

*记法:* $m_t = f'(a)$

**例题:** 求曲线$y = 3x^2 - 4x + 1$在$x=2$处的切线斜率。

1. 步骤1：对函数关于$x$求导

   $$f'(x) = 6x - 4$$
2. 步骤2：将$x=2$代入导函数

   $$f'(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$$
3. 最终$x=2$处的切线斜率为8

> **考试提示:** IB考试题几乎只会给出切点的x坐标，而非完整的(x,y)坐标对，因此请记得使用原函数$f(x)$计算对应的y值。

## 推导切线的完整方程

得到切点$(a, f(a))$处的切线斜率$m_t$后，使用标准的直线点斜式公式$y - y_1 = m(x - x_1)$即可得到切线的完整方程。IB评分标准几乎都会为正确将点和斜率代入该公式的步骤分配1分。

$$y - f(a) = m_t (x - a)$$

**例题:** 求曲线$y = x^3 - 2x$在$x=1$处的切线完整方程。

1. 步骤1：计算切点的y坐标

   $$f(1) = (1)^3 - 2(1) = -1$$
2. 步骤2：求导得到斜率函数

   $$f'(x) = 3x^2 - 2$$
3. 步骤3：计算$x=1$处的导数值

   $$m_t = f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1$$
4. 步骤4：将$(1, -1)$和$m_t=1$代入点斜式公式

   $$y - (-1) = 1(x - 1) \implies y + 1 = x - 1 \implies y = x - 2$$

**概念自测**

在继续学习前测试你的理解程度

1. 曲线$y=2x^2$在$x=3$处的切线方程是什么？

   - y=12x - 18
   - y=12x
   - y=6x - 18
   - y=12x + 18

   *解析:* 正确：$f(3)=18$，$f'(3)=12$，因此$y-18=12(x-3)$化简后得到$y=12x-18$。

## 计算法线的方程

法线是在切点处与切线垂直的直线。对于两条斜率均不为零的互相垂直的直线，它们的斜率乘积等于-1。这意味着法线斜率$m_n$是切线斜率$m_t$的负倒数。

$$m_n = -\frac{1}{m_t}, \quad m_t \neq 0$$

> **垂直斜率规则**
>
> 垂直直线取负倒数：颠倒分数，翻转符号

**例题:** 求曲线$y = 4x + 1/x$在$x=1$处的法线方程。

1. 步骤1：求该点的y坐标

   $$f(1) = 4(1) + 1/1 = 5$$
2. 步骤2：对函数求导

   $$f'(x) = 4 - \frac{1}{x^2}$$
3. 步骤3：计算$x=1$处的切线斜率

   $$m_t = 4 - 1 = 3$$
4. 步骤4：取负倒数得到法线斜率

   $$m_n = -\frac{1}{3}$$
5. 步骤5：将$(1,5)$和$m_n=-1/3$代入点斜式公式

   $$y - 5 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies 3y - 15 = -x + 1 \implies x + 3y = 16$$

**考试命令词**

本主题对应的IB考试指令术语有特定的作答要求：

- **Find the tangent** — 你必须给出完整化简后的直线方程，不能只写出斜率

- **Show that the normal is...** — 你必须明确写出取负倒数的步骤才能拿到全部分数

## 求解未知切点

分值较高的IB AA SL题目会给出切线或法线的方程，要求你求出切点的未知x坐标。这类题目需要将导函数设为等于给定直线的斜率，再求解得到的代数方程。

**例题:** 直线$y = 6x + c$与曲线$y = 2x^2 - 4x + 7$相切，求$c$的值。

1. 步骤1：切线斜率为6，因此令导函数等于6

   $$f'(x) = 4x - 4 = 6$$
2. 步骤2：求解x

   $$4x = 10 \implies x = 2.5$$
3. 步骤3：求出曲线上对应的y值

   $$f(2.5) = 2(2.5)^2 -4(2.5) +7 = 12.5 - 10 +7 = 9.5$$
4. 步骤4：将$(2.5, 9.5)$代入切线方程求解c

   $$9.5 = 6(2.5) + c \implies 9.5 = 15 + c \implies c = -5.5$$

## 常见错误

- **错误做法:** 使用原函数$f(x)$而非导函数来计算切线斜率
  - 原因: 原函数返回的是y值，而非曲线在该点处的斜率
  - 正确做法: 在代入x坐标求斜率之前，务必先对$f(x)$求导
- **错误做法:** 计算法线斜率时只取切线斜率的倒数，忘记添加负号
  - 原因: 平行线的斜率相等，垂直线的斜率并不相等
  - 正确做法: 对$m_t$取倒数后务必翻转符号，得到$m_n$
- **错误做法:** 仅将x坐标作为切点，忘记计算对应的y值
  - 原因: 点斜式公式需要同时使用$x_1$和$y_1$才能推导出正确的直线方程
  - 正确做法: 在构建直线方程之前，先在原曲线上计算$f(a)$得到完整的$(a, f(a))$坐标
- **错误做法:** 化简直线方程时出错，移项时符号混淆
  - 原因: IB评分标准会对最终直线方程中的符号错误扣除1分
  - 正确做法: 将切点代回重排后的方程进行二次检查，确认方程成立
- **错误做法:** 当切线斜率为0时，仍尝试计算法线的斜率
  - 原因: 水平切线（$m_t=0$）对应的法线是竖直线，其斜率无定义
  - 正确做法: 将法线写为$x = a$，即过切点的竖直线

## 速查表

| 物理量 | 公式 |
| --- | --- |
| $x=a$处的切线斜率 | $m_t = f'(a)$ |
| $x=a$处的法线斜率 | $m_n = -1/m_t$ |
| 切线方程 | $y - f(a) = m_t(x - a)$ |
| 法线方程 | $y - f(a) = m_n(x - a)$ |
| 竖直线法线（当$m_t=0$时） | $x = a$ |

## 下一步

掌握切线与法线方程是学习IB 数学 AA SL后续所有微积分主题的基础技能，包括变化率、最优化和运动学。接下来你将练习应用这些求导技能来寻找曲线上的最大值点和最小值点，解答在Paper 2中分值最高可达8分的实际场景最优化问题。你也可以复习结合切线与二次、三次曲线性质的历年考试题型，在模拟考试前巩固你的理解。

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