三角函数、指数函数和对数函数的求导

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 5: Calculus· 20 分钟阅读

1. 三角函数的求导★★☆☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

基础三角函数的标准导数

当 $x$ 以弧度为单位（微积分中的标准要求）时，导数为： $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$ ， $\frac{d}{d x} (cos x) = - sin x$ ， $\frac{d}{d x} (tan x) = sec^{2} x$ 。

例:

若 $f (x) = 3 sin x$ ，则 $f^{'} (x) = 3 cos x$ 。

对复合三角函数（形如 $f (g (x))$ ，其中 $f$ 是三角函数）求导时，你需要将这些标准导数公式与链式法则结合使用。

📐 例题

求 $f (x) = tan (3 x^{2} + 2 x)$ 的导数

1
为应用链式法则拆分为外函数和内函数：外函数 $f (u) = tan u$ ，内函数 $u = 3 x^{2} + 2 x$
2
分别计算两部分的导数：
3
$\frac{df}{du} = \sec^2 u, \quad \frac{du}{dx} = 6x + 2$
4
应用链式法则 $\frac{df}{d x} = \frac{df}{d u} \times \frac{d u}{d x}$ ，然后回代 $u$ ：
5
$f'(x) = (6x + 2)\sec^2(3x^2 + 2x)$

Exam tip:

求解复合三角函数的导数时，一定要检查是否应用了链式法则；忘记对内函数求导是这里最常见的错误。

2. 指数函数的求导★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

指数函数的导数

对于自然指数函数： $\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$ 。对于一般指数函数 $a^{x}$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）： $\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} ln a$ 。

例:

$\frac{d}{d x} (5^{x}) = 5^{x} ln 5$

对于形如 $e^{g (x)}$ 的复合指数函数，根据链式法则，导数可化简为 $g^{'} (x) e^{g (x)}$ 。这种形式在IB考题中非常常见。

📐 例题

求 $y = x^{2} e^{3 x}$ 的导数，并计算 $x = 0$ 处的斜率

1
这是两个函数的乘积，因此使用乘积法则 $y^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ，其中 $u = x^{2}$ ， $v = e^{3 x}$
2
分别计算两部分的导数：
3
$u' = 2x, \quad v' = 3e^{3x}$
4
代入乘积法则并因式分解：
5
$y' = 2x(e^{3x}) + x^2(3e^{3x}) = e^{3x}(2x + 3x^2)$
6
在 $x = 0$ 处求值：
7
$y'(0) = e^{0}(0 + 0) = 1 \times 0 = 0$

Exam tip:

记住 $e^{x}$ 的导数就是它本身，不要像对 $x^{n}$ 求导那样误用幂法则。

3. 对数函数的求导★★★☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

对数函数的导数

对于自然对数（ $x > 0$ ）： $\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$ 。对于一般对数（ $a > 0, a \neq = 1, x > 0$ ）： $\frac{d}{d x} (lo g_{a} x) = \frac{1}{x l n a}$ 。

例:

$\frac{d}{d x} (lo g_{10} x) = \frac{1}{x l n 10}$

对于形如 $ln (g (x))$ 的复合对数函数，应用链式法则可得到简洁结果 $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ 。这个结论可用于对复杂乘积和商进行对数求导。

📐 例题

求 $f (x) = ln (x^{3} - 2 x + 1)$ 的导数，并说明导数有效的定义域。

1
使用复合对数 $ln (g (x))$ 的链式法则结论，其中 $g (x) = x^{3} - 2 x + 1$
2
首先计算内函数的导数：
3
$g'(x) = 3x^2 - 2$
4
代入复合对数的导数公式：
5
$f'(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x + 1}$
6
导数仅在原函数有定义的区域有效，即满足 $x^{3} - 2 x + 1 > 0$ 。

Exam tip:

记住 $ln (g (x))$ 的导数恒为 $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ ，这个结论能帮你在考试中节省时间。

4. 常见陷阱

错误做法:

错误地写出 $\frac{d}{d x} (sin x) = - cos x$ 、 $\frac{d}{d x} (cos x) = sin x$ ，混淆了符号。

原因:

记忆时很容易混淆正弦和余弦导数的符号。

正确做法:

记住正确的导数： $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$ ， $\frac{d}{d x} (cos x) = - sin x$ 。

错误做法:

对 $e^{2 x}$ 求导时忘记链式法则，错误写出 $\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = e^{2 x}$ 。

原因:

内函数 $2 x$ 的导数是2，必须通过链式法则将其包含在结果中。

正确做法:

应用链式法则得到 $\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = 2 e^{2 x}$ 。

错误做法:

混淆 $e^{x}$ 和 $ln x$ 的导数，错误写出 $\frac{d}{d x} (ln x) = e^{x}$ 或 $\frac{d}{d x} (e^{x}) = \frac{1}{x}$ 。

原因:

这两个核心函数的导数完全不同，学生经常会记混。

正确做法:

记住： $\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$ ， $\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$ 。

错误做法:

对 $a^{x}$ 误用幂法则，错误写出 $\frac{d}{d x} (a^{x}) = x a^{x - 1}$ 。

原因:

幂法则适用于底数为变量、指数为常数的函数，不适用于底数为常数、指数为变量的函数。

正确做法:

使用指数函数求导法则： $\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} ln a$ 。

5. 速查表

函数	导数
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$sec^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x l n a}$
$ln (g (x))$	$\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$
$e^{g (x)}$	$g^{'} (x) e^{g (x)}$

6. 常见问题

这些导数公式会在公式手册中给出吗？

不会，这些标准导数公式不会出现在IB AA SL的公式手册中，因此你必须在考试前记住它们。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
对复合三角函数求导
2022 · 2
求指数曲线在某一点的斜率
2023 · 1
对对数函数与三角函数的乘积求导

下一步

现在你已经掌握了这些标准导数公式，你可以将它们应用于各类微积分问题，从求曲线的斜率和切线，到解决优化问题和微分方程。这些导数是IB AA SL微积分所有后续内容的基础，因此你必须记住它们，并能够熟练地将它们与链式法则、乘积法则和商法则结合使用。接下来，你将学习如何使用这些导数解决涉及切线和法线的应用问题，然后进一步学习驻点求解和优化问题等应用。由于IB AA SL中所有高级微积分概念都建立在这些核心求导法则之上，掌握本小节内容会让所有后续微积分主题变得简单得多。